ти форму їх входження в тимчасовій ряд. На верхньому рівні представлення з виділенням лише детермінованою і випадковою складових зазвичай використовують адитивну або мультиплікативну моделі.
Адитивна модель має вигляд
;
мультиплікативна -
,
де - значення ряду в момент t
- значення детермінованої складової;
- значення випадкової складової.
У свою чергу, детермінована складова може бути представлена як адитивна комбінація детермінованих компонент:
,
як мультиплікативна комбінація:
,
або як змішана комбінація, наприклад,
3.Модель компонентів детермінованою складової часового ряду
3.1.Моделі тренда
Тренд відображає дію постійних довготривалих чинників і носить плавний характер, так що для опису тренда широко використовують поліноміальні моделі, лінійні за параметрами
,
де значення ступеня k полінома рідко перевищує 5.
Поряд з поліноміальними моделями економічні дані, що описують процеси росту, часто апроксимуються наступними моделями:
- експоненціальної
.
Ця модель описує процес з постійним темпом приросту, тобто
- логістичної
У процесу, описуваного логістичної кривої, темп приросту досліджуваної характеристики лінійно зменшується з збільшенням y , тобто
- Гомперца
.
Ця модель описує процес, в якому темп приросту досліджуваної характеристики пропорційний її логарифму
.
Дві останні моделі задають криві тренда S -подібної форми, представляючи процеси з наростаючим темпом росту в початковій стадії з поступовим уповільненням в кінці.
При підборі підходящої функціональної залежності, інакше специфікації тренда, вельми корисним є графічне представлення часового ряду.
Відзначимо також, що тренд, відображаючи дію довготривалих факторів, є визначальним при побудові довготривалих прогнозів.
3.2 Моделі сезонної компоненти
Сезонний ефект у тимчасовому ряді проявляється на В«фоніВ» тренда і його виділення виявляється можливим після попередньої оцінки тренда. (Тут не розглядаються методи спектрального аналізу, що дозволяє виділити внесок сезонної компоненти в спектр без обчислення інших компонент ряду). Дійсно, лінійно зростаючий ряд помісячних даних буде мати схожі ефекти в однойменних точках - найменше значення в січні і найбільша в грудні; проте навряд чи тут доречно говорити про сезонне ефекті: виключивши лінійний тренд, ми отримаємо ряд, в якому сезонність повністю відсутня. В Водночас ряд, що описує помісячні обсяги продажів новорічних листівок, хоча і буде мати таку ж особливість (мінімум продажів в січні і максимум в грудні) буде носити скоріше всього коливальний характер щодо тренда, що дозволяє специфікувати ці коливання як сезонний ефект.
У найпростішому випадку сезонний ефект може проявлятися у вигляді суворо періодичній залежності.
, для будь-якого t , де t - період сезонності.
У загальному випадку значення, віддалені на t можуть бути пов'язані функціональною залежністю, то є
.
Приміром, сезонний ефект сам може містити трендову складову, відображає зміну амплітуди коливань.
Якщо сезонний ефект входить в ряд аддитивно, то модель сезонного ефекту можна записати як
,
де - булеві, інакше індикаторні, змінні, по одній на кожен такт всередині періоду t сезонності. Так, для ряду місячних даних = 0 для всіх t , крім січня кожного року, для якого = 1 і так далі. Коефіцієнт при показує відхилення січневих значень від тренда, - відхилення лютневих значень і так далі до. Щоб зняти неоднозначність у значеннях коефіцієнтів сезонності, вводять додаткове обмеження, так зване умова репараметрізаціі, зазвичай
.
У тому випадку, коли сезонний ефект носить мультиплікативний характер, то є
модель ряду з використанням індикаторних змінних можна записати в вигляді
Коефіцієнти, в цій моделі прийнято називати сезонними індексами.
Для повністю мультиплікативного ряду
зазвичай проводять процедуру лінеаризації операцією логарифмування
.
Домовимося називати представлені моделі сезонного ефекту В«ІндикаторнимиВ». Якщо сезонний ефект досить В«гладкийВ» - близький до гармоніці, використовують В«гармонійнеВ» уявлення
,
де d - амплітуда, w - умови частоти (в радіанах у одиницю часу), a - Фаза хвилі. Оскільки фаза зазвичай заздалегідь невідома. Останній вираз записують як
,
де, .
Параметри А і В можна оцінити за допомогою зазвичай регресії. Кутова частота w вважається відомою. Якщо якість підгонки виявиться незадовільним, поряд з гармонікою w основної хвилі в модель включають додатково першу гармоніку (з подвоєною основний частотою 2 w ), при необхідності і другу і так далі гармоніки. В принципі, з двох уявлень: індикаторного і гармонійного - слід вибирати те, яке вимагатиме меншого числа параметрів.
3.3 Модель інтервенції
Інтервенція, що представляє собою вплив, що істотно перевищує флуктуації ряду, може носити характер В«імпульсуВ» або В«сходинкиВ».
Імпульсний вплив короткочасно: розпочавшись, воно майже тут же закінчується. Поетапне вплив довгостроково, носить стійкий характер. Узагальнена модель інтервенції має вигляд
,
де - значення детермінованої компоненти ряду, описуваної як інтервенція;
- коефіцієнти типу авторегресії;
- коефіцієнти типу ковзного середнього;
- екзогенна змінна одного з двох типів;
(В«щабельВ»), або (В«імпульсВ»)
де - фіксований момент часу, званий моментом інтервенції.
4.Методи виділення тренда
Наведені в п.3.1 специфікації ряду є параметричними функціями часу. Оцінювання параметрів може бути проведено за методом найменших квадратів так само, як в регресійному аналізі. Хоча статистичні передумови регресійного аналізу (см п.) у тимчасових лавах часто не виконуються (Особливо п.5 - некоррелированности збурень), тим не менш оцінки тренду виявляються прийнятними, якщо модель специфікована правильно і серед спостережень немає великих викидів. Порушення передумов регресійного аналізу позначається не стільки на оцінках коефіцієнтів, скільки на їх статистичних властивостях, у Зокрема, спотворюються оцінки дисперсії випадкової складової і довірчі інтервали для коефіцієнтів моделі.
У літературі описуються методи оцінювання в умовах коррелированности збурень, однак їх застосування вимагає додаткової інформації про кореляції спостережень.
Головна проблема при виділенні тренда полягає в тому, що підібрати єдину специфікацію для всього тимчасового часто неможливо, оскільки змінюються умови протікання процесу. Облік цієї мінливості особливо важливий, якщо тренд обчислюється для цілей прогнозування. Тут позначається особливість саме часових рядів: дані відносяться до В«далекого минулогоВ» будуть неактуальними, даремними або навіть В«шкідливимиВ» для оцінювання параметрів моделі поточного періоду. Ось чому при аналізі часових рядів широко використовуються процедури зважування даних.
Для обліку мінливості умов модель ряду часто наділяють властивістю адаптивності, принаймні, на рівні оцінок параметрів. Адаптивність розуміється в тому сенсі, що оцінки параметрів легко перераховуються по мірі надходження нових спостережень. Звичайно, і звичайного методу найменших квадратів можна надати риси адаптивності, перераховуючи оцінки кожного разу, залучаючи в процес обчислень старі дані плюс свіжі спостереження. Однак при цьому кожен новий перерахунок веде до зміни минулих оцінок, тоді як а...
