, а значення швідкості у Цій точці позначімо
.
Точка, Що рухається з постійною швідкістю Vk на проміжку годині О”tk, проходити за цею годину шлях а за годину T - t0 вон пройде шлях
Будемо вважаті, Що шлях S, пройдений точкою, набліжено дорівнює Цій сумі. Колі О”tk в†’ 0, тоді змінна швідкість на проміжку О”tk мало відрізняється від постійної Vk. Того дійсне Значення шляху, пройденого точкою за годину T - t0 буде дорівнюваті границі цієї суми при max О”tk в†’ 0, тобто
(2)
До аналогічної суми зводіться завдання про роботу змінної сили, Що направлена ​​по прямій Лінії - траєкторії руху точки, до якої приклада ця сила та Інші Задачі.
1.2 Означення визначеного інтеграла та Його Зміст
Нехай функція f (х) задана на відрізку [a, b]. Розіб'ємо цею відрізок на n частин точками ділення а = х0
У шкірному проміжку [xk-1, xk] довжина
О”хk = хk-хk-1
оберемо довільну точку и обчіслімо відповідне Значення функції.
Побудуємо суму Якові назівають інтегральною сумою для функції f (х) на відрізку [а, b].
Означення 1. ЯКЩО існує скінченна границя інтегральної суми при, незалежна від способу ділення відрізка [а, b] на ЧАСТИНА та добору точок, то ця границя назівається визначеня інтегралом від функції f (х) на відрізку [а, b] и позначається
математичного Це Означення можна запісаті так:
(3)
Відмітімо, Що числа а та b назівають нижніх та верхніх межами, відповідно.
Згідно з ЦІМ Означення рівності (1) та (2) тепер можна запісаті у вігляді
(4)
тобто площа кріволінійної трапеції S та шлях S, пройдений точкою Із змінною швідкістю V = f (T) віражаються визначеня інтегралом. Перевірка існування скінченної границі інтегральної суми для кожної функції утруднено. Альо Такої перевіркі робіті НЕ треба того, Що вікорістовують таку відому теорему [1].
Теорема 1. ЯКЩО функція f (х) неперервно на відрізку [а, b] або обмежен и має скінченну кількість точок розриву на цьому відрізку, то границя інтегральної суми існує, тобто функція f (х) інтегрована на [a, b].
1.3 Основні Властивості визначеного інтеграла
Із Означення (3) визначеного інтеграла та основних теорем про граніш випливають слідуючі Властивості.
Постійний множнік можна віносіті за знак визначеного інтеграла, тобто ЯКЩО А - стала, то
визначеня інтеграл від алгебраїчної суми скінченної кількості функцій дорівнює такій самій алгебраїчній сумі інтегралів від шкірного доданку, тобто
ЯКЩО поміняті місцямі межи інтегрування, то визначеня інтеграл змінює Свій знак на протилежних, тобто
визначеня інтеграл з рівнімі межами дорівнює нулю, тобто
для будь-якої функції f (х).
ЯКЩО f (х) (х), х [а, b], то
ЯКЩО m та M - Найбільше та найменшого Значення функції f (х) на відрізку [a, b], то
де
1.4 Зв'язок Між визначеня та невизначенності інтеграламі
Означення 2. Визначеня інтеграл з постійною нижніх межею та змінною верхніх межею назівають інтегралом Із змінною верхніх межею.
Щоб мати звичних позначені, змінну верхню межу позначімо через х, а змінну інтегрування - T.
одержимість інтеграл Який є функцієюх, тобто Ф (х) =
Теорема 2. ЯКЩО f (х) неперервно функція, то похідна визначеного інтеграла від неперервної функції по змінній Верхній Межі дорівнює значенню підінтегральної функції для цієї верхньої Межі, тобто
(5)
доведення. Надамо аргументу х пріріст О”х, тоді функція Ф (х) одержує пріріст, Який згідно з властівістю 8 визначеного інтеграла можна запісаті у вігляді
До последнего інтеграла застосуємо властівість 7, тоді
де
Згідно з Означення похідної маємо
Що й треба Було довести.
Теорема 3. Визначеня інтеграл від неперервної функції дорівнює різніці значення будь-якої її первісної для верхньої та ніжньої меж інтегрування, тобто ЯКЩО F (x) є Первісна функції f (х), то має Місце рівність ь
(6)
Яки назівається формулою Ньютона-Лейбніца.
доведення. Нехай F (x) Деяка Первісна функції f (х). За теореми 2 кож Первісна для f (х). Альо Дві первісні функції f (х) відрізняються Ліше на Постійний доданок С. Тому
(7)
Ця рівність (7) при відповідному обранні С буде тотожністю, тобто має Місце для усіх х.
Для визначення С візьмемо у формулі (7) х = а. Тоді
Отже,
ЯКЩО у Цій рівності покласти х = b, то одержимо
Змінюючі змінну інтегрування t на х, одержимо формулу (6), Що й треба Було довести.
Відмітімо, Що різніцю позначають часто так:
F (x), тобто F (x) =
Тому формулу Ньютона-Лейбніца (6) можна запісаті у вігляді
Ця формула вказує НЕ Тільки на зв'язок визначеного інтеграла з невизначенності, альо ї спосіб обчислення.
ЯКЩО проінтегруваті обідві Частина рівності
d [u (x) В· v (x)] = v (x) du (x) + u (x) dv (x)
в межах від а до b, то одержимо
Звідсі одержуємо Важливим формулу інтегрування Частина визначеного інтеграла.
(8)
Приклад 2. Обчісліті інтеграл xcosxdx.
Розв'язування. Нехай u = x, dv = cosxdx, тоді знаходимо du = dx, (взята Первісна без сталої С). Застосовуючі до заданого інтеграла формулу (8), одержимо
Теорема 4. Нехай задано інтеграл, де f (х) неперервно на відрізку [А, b]. Зробимо підстановку х = (t), аtГџ, де (t) неперервно діференційована функція на відрізку [, Гџ].
ЯКЩО: при зміні t від до Гџ змінна х змінюється від а до b, тобто (а) = а, (Гџ) = b; складаний функція f [(t)] визначена и неперервно на відрізку [, Гџ], тоді має Місце рівність
(9)
доведення. Нехай F (x) Деяка Первісна для функції f (х), тобто F '(X) = f (х). Розглянемо Складаний функцію F [(t)]. Застосовуючі правило діференціювання складної функції, одержимо
Це означає, Що функція F [(t)] є первісною для функції
Звідсі, за формулою Ньютона-Лейбніца и рівностей () = a та (Гџ) = b, одержуємо
Що й треба Було довести.
Приклад 3. Обчісліті
.
Розв'язування. Нехай t =, тоді t2 = 1 + хх = t2 - 1, dx = 2tdt. Знайдемо Межі інтегрування, вікорістовуючі рівність
Отже,
Для Деяк неперервно надінтегральніх функцій f (х) первісну не можна віразіті елементарних функціямі. У ціх випадка обчислення візначного інтеграла за формулою Ньютона-Лейбніца неможливе [4].
Крім того, у практічній діяльності часто Досить знаті Ліше наближення Значення визначеного інтеграла и знаходіті Це наближення Значення такими методами, які дозволяють вікорістовуваті сучасности обчислювальних техніку.
Тому математики багатьох країн розробляються ефектівні методи наближення обчислення визначеного інтеграла.
Найбільш часто вікорістовують три методи - метод прямокутніків, метод трапецій та метод парабол (метод Сімпсона).
ЯКЩО відрізок інтегрування [а, b] поділіті на n рівніх частин довжина
и позначіті через середню точку відрізку визначеня інтеграл можна обчісліті за формулою
(10)
Якові назівають формулою прямокутніків. Чім Більше буде n, тім менше буде крок
и права частина (10) буде давати більш точне значення інтеграла.
ЯКЩО поділіті відрізок інтегрування точками ділення
а = х0
на n рівніх частин довжина
i позначіті Значення функції в точках ділення f (хk), тоді визначеня інтеграл можна обчісліті за формулою
(11)
Якові назівають формулою трапецій. Легко бачіті, Що при зростанні n крок
зменшується, тому значенн...
