valign=top> 78
86
92
Всього їздець
Проектоване число їздець
10
15
5
20
5
25
15
30
10
65
200
Потрібно поставити бензоколонку так, щоб загальний пробіг автомашин на заправку був найменшим.
Варіант 1. Якщо бензоколонку поставити в середині шосе, тобто на 50-му кілометрі (центр діапазону зміни ознаки), то пробіги з урахуванням числа їздець складуть:
а) в одному напрямку:
;
б) в протилежному:
;
в) загальний пробіг в обидва напрямки:.
Варіант 2. Якщо бензоколонку поставити на середній ділянці шосе, визначеному за формулою середньої арифметичної з урахуванням числа їздець:
Тоді пробіги складуть:
а) в одному напрямку:
б) в протилежному:
;
в) загальний пробіг в обидва напрямки, рівний менше, ніж у першому варіанті на 438,5 км.
Варіант 3. Якщо поставити бензоколонку на 78-му кілометрі, що буде відповідати медіані за кількістю їздець (накопичене число їздець для 60 км - 95, для 78 км - 125).
Тоді пробіги складуть:
а) в одному напрямку:
б) в протилежному:
;
в) загальний пробіг:, менше загальних пробігів, розрахованих за попереднім варіантам.
Таким чином, медіані відповідає найкращий результат, тобто мінімальний загальний пробіг.
Медіану можна визначити графічно, по кумуляти (див. лекцію "Зведення і групування статистичних даних "). Для цього останню ординату, рівну сумі всіх частот або частостей, ділять навпіл. З отриманої точки відновлюють перпендикуляр до перетину з кумулята. Абсциса точки перетину і дає значення медіани.
1.3 Показники диференціації
Якщо виникає необхідність вивчити структуру варіаційного ряду більш докладно, обчислюють значення ознаки, аналогічні медіані. Такі значення ознаки, які ділять всі одиниці розподілу на рівні чисельності, називають квантиль, або градієнтами. Квартили і децили - окремі випадки квантилів.
квартиль (Q) називають значення ознаки, які ділять сукупність на чотири рівні по числу одиниць частини. Децілі (D) - ознаки, що ділять сукупність на десять рівних частин.
Отже, крім медіани, в ряду розподілу є три квартиля і дев'ять децілей. Медіана одночасно є другим квартиль і п'ятим деціль. Розрахунок першого (Q 1 ) і третього (Q 3 ) квартилей аналогічний розрахунку медіани, тільки замість медіанного інтервалу береться для першого квартиля інтервал, в якому знаходиться варіанту, отсекающая Вј чисельності частот, а для третього квартиля - Вѕ чисельності частот:
і.
Логіка побудови квінтілей і децілей аналогічна.
2. Характеристики варіації
Показники варіації характеризує коливання індивідуальних значень ознаки по відношенню до середньому значенню, що не менш важливо, ніж визначення самої середньої. Середня не показує будови сукупності, як розташовуються біля неї варіанти осредняемого ознаки, зосереджені вони поблизу середньої або значно відхиляються від неї. Середня величина ознаки в двох сукупностях може бути однаковою, але в одному випадку всі індивідуальні значення відрізняються від неї мало, а в іншому ці відмінності великі, тобто в одному випадку варіація ознаки мала, а в іншому велика.
Це можна показати на такому прикладі. Припустимо, що дві бригади з 3-х чоловік кожна виконують однакову роботу. Кількість деталей, виготовлених за зміну окремими робітниками, склало:
в першій бригаді - 95, 100, 105;
у другій бригаді - 75, 100, 125.
Середня виробіток на одного робітника в бригадах склала
,.
Середня вироблення однакова, але колеблемость вироблення окремих робітників у першій бригаді значно менше, ніж у другій.
Отже, чим більше варіанти окремих одиниць сукупності різняться між собою, тим більше вони відрізняються від своєї середньої, і навпаки - варіанти, що мало відрізняються один від друга, більш близькі за значенням до середньої, яка в такому випадку буде більш реально представляти всю сукупність.
Тому для характеристики і вимірювання варіації ознаки в сукупності крім середньої використовують наступні показники:
абсолютні - варіаційний розмах, середнє лінійне та середнє квадратичне відхилення, дисперсію;
відносні - коефіцієнти варіації.
2.1 Абсолютні характеристики варіації
Варіаційний розмах (або розмах варіації) - це різниця між максимальним і мінімальним значеннями ознаки:
У нашому прикладі розмах варіації змінного виробітку робітників становить: у першій бригаді R = 105-95 = 10 дет., під Друга бригада R = 125-75 = 50 дет. (В 5 разів більше). Це говорить про те, що вироблення 1-ї бригади більш "стійка", але резервів зростання виробітку більше у другої бригади, т.к у разі досягнення всіма робітниками максимальної для цієї бригади виробітку, нею може бути виготовлено 3 * 125 = 375 деталей, а в 1-й бригаді лише 105 * 3 = 315 деталей.
Якщо крайні значення ознаки не типові для сукупності, то використовують квартильное або доцільний розмахи. Квартильное розмах R Q = Q 3 -Q 1 охоплює 50% обсягу сукупності, доцільний розмах першого R D1 = D 9 -D 1 охоплює 80% даних, другий доцільний розмах R D2 = D 8 -D 2 - 60%.
Недоліком показника варіаційного розмаху є, але що його величина не відображає всі коливання ознаки.
Найпростішим узагальнюючим показником, що відбиває всі коливання ознаки, є середнє лінійне відхилення, що представляє собою середню арифметичну абсолютних відхилень окремих варіант від їх середньої величини: для не GROUP даних
,
для згрупованих даних
,
де х i - значення ознаки в дискретному ряду або середина інтервалу в інтервальному розподілі.
У вищенаведених формулах різниці в чисельнику взяті по модулю, інакше, відповідно до властивості середньої арифметичної, чисельник завжди буде дорівнювати нулю. Тому середнє лінійне відхилення в статистичній практиці застосовують рідко, тільки в тих випадках, коли підсумовування показників без урахування знака має економічний сенс. З його допомогою, наприклад, аналізується склад працюючих, рентабельність виробництва, оборот зовнішньої торгівлі.
Дисперсія ознаки - це середній квадрат відхилень варіант від їх середньої величини:
проста дисперсія
,
зважена дисперсія
.
Формулу для розрахунку дисперсії можна спростити:
Таким чином, дисперсія дорівнює різниці середньої з квадратів варіант і квадрата середньої з варіант сукупності:
.
Однак, внаслідок підсумовування квадратів відхилень дисперсія дає викривлене уявлення про відхилення, тому її на основі розраховують середнє квадратичне відхилення, яке показує, на скільки в середньому відхиляються конкретні варіанти ознаки від їх середнього значення. Обчислюється шляхом вилучення квадратного кореня з дисперсії:
для не GROUP даних
,
для варіаційного ряду
Чим менше значення дисперсії і середнього квадратичного відхилення, тим однорідніше сукупність, тим більше надійної (типової) буде середня величина.
Середнє лінійне та середнє квадратичне відхилення - іменовані числа, тобто виражаються в одиницях вимірювання ознаки, ідент...
