детонації, хімічної кінетики,процесу зростання і міграції біологічних популяцій, поширенні забрудненьв навколишньому середовищі. Такий діапазон додатків рівняння (1.1) обумовлений тим,що в його основі лежать фундаментальні закони збереження енергії, маси абочисла частинок.
Розподілтемператури в необмеженій стержні
, - в€ћ Л‚ x Л‚ + в€ћ
Початкове умова: u | t = 0 = f (x)
Рішення:
(інтеграл Пуассона).
Розподілтемператури у стрижні, обмеженому з одного боку
, 0 Л‚ x Л‚ + в€ћ
Початкове умова: u | t = 0 = f (x)
Крайове умова: u | t = 0 = П† (t)
Рішення:
2. Поширеннятеплових збурень у нелінійних середовищах
У роботах Г.І. Баренблатта,Я.Б. Зельдовича, С.П. Курдюмова, Л.К. Мартінсон, А.А. Самарського та іншихзнайдені точні аналітичні рішення деяких задач нелінійноїтеплопровідності. Аналіз властивостей цих рішень дозволяє виявити ряд важливихнелінійних ефектів при розповсюдженні теплових збурень в середовищах,коефіцієнт теплопровідності яких залежить від температури.
Розглянемо середу,коефіцієнт теплопровідності k якої змінюється залежно від температуриі по статечному закону
k = k0uб(2.1)
де> 0 - параметр нелінійності середовища. Щільність середовищаПЃ і її теплоємність будемо вважати постійними, незалежними відтемператури. Таку середу, на відміну від середовища з постійним коефіцієнтомтеплопровідності (Оґ = 0), назвемо нелінійної, так як процестеплопровідності в такому середовищі в відсутність об'ємних теплових джерелописується нелінійним, точніше, квазілінейним параболічним рівнянням
(2.2)
де - характерний коефіцієнт температуропровідності.
При моделюваннітеплових процесів в нелінійному середовищі необхідно використовувати такі рішеннярівняння (2.2), які задовольняють умовам безперервності температури ітеплового потоку. Але так як щільність теплового потоку
в такому середовищі залежитьне тільки від градієнта температури, але і від значення самої температури, торішення рівняння нелінійної теплопровідності (2.2) слід шукати в класіузагальнених функцій, що допускають розриви похідних по просторовихзмінним там, де функція і звертається в нуль і рівняння (2.2) вироджується.
3. Просторовалокалізація теплових збурень
Ще один цікавийнелінійний ефект можна виявити при розгляді процесу поширеннятеплових збурень у нелінійних середовищах з об'ємним поглинанням теплоти.
Розглянемо задачу провплив миттєвого плоского зосередженого теплового джерела в нелінійнійсередовищі з коефіцієнтом теплопровідності, що змінюється в залежності відтемператури по статечному закону, якщо в нагрітій середовищі відбувається об'ємнепоглинання теплоти, питома потужність якого в кожній точці середовищапропорційна значенню температури в даний момент часу. Математичнамодель такого процесу відповідає задачі Коші для квазілінійного рівняннятеплопровідності з молодшим членом
(3.1)
Тут - коефіцієнт поглинання.
Поглинання енергії вобсязі нелінійного середовища призводить до зменшення інтегральної теплової(Внутрішньої) енергії середовища. Тому при інтегруванні (3.1) попросторового змінному в межах від - в€ћ до + в€ћ знаходимо
(3.2)
де
Так як, то, інтегруючи рівняння (3.2), отримуємо
Для вирішення завдання (3.1)перейдемо за допомогою перетворення
(3.3)
до нової функції v (x, t). Тоді рівняння для Vприймає вид
Вводячи нове незалежнезмінне (перетворене час) за правилом
(3.4)
отримуємо для функції задачу
(3.5)
З точністю допозначення тимчасового змінного завдання (3.5) відповідає завданню про впливмиттєвого зосередженого теплового джерела в нелінійному середовищі безоб'ємного поглинання. Єдина відмінність полягає в тому, що задача (3.5)сформульована на кінцевому "тимчасовому" інтервалі. Тому, провівшизворотне перетворення змінних, можна записати розв'язок вихідної задачі (3.1)у вигляді
(3.6)
(3.7)
Залежності U (П„) і x0 (П„) в (7.7) визначені формулами в яких часt слід замінити на П„, розуміючи під П„ = П„ (t) перетворенеза законом
(3.8)
тимчасове змінне.При цьому істотно, що перетворення відображає полубесконечной інтервал [0, + в€ћ) позмінному t в обмежений відрізок [0, П„m) по змінному П„.
фінітних рішення (3.6)завдання (3.1) являє собою фронтове рішення, яке описує поширеннятеплової хвилі від миттєвого зосередженого джерела з кінцевою швидкістюпереміщення фронтів x = В± x0 ().
Але головну особливістьцього рішення можна виявити, якщо проаналізувати закони руху фронтівтеплової хвилі. З цього аналізу випливає, що функція в будь-який момент часу t> 0 дорівнює нулю позаобласті, де
Так як при, то теплові обурення від джерела проникають внелінійну середу з об'ємним поглинанням лише на кінцеву глибину навіть занескінченний проміжок часу. Теплові обурення виявляються локалізованимив обмеженій просторовій області.
Як видно на малюнку 1,на площині станів заштрихована область збурень, де, укладена в півсмуги, кінцева ширина якої 2Lm. При цьому величина Lm, що визначає розмір областілокалізації теплових збурень, залежить від визначальних параметрів задачі ввідповідності з виразом (3.10).
Зокрема, розміробласті просторової локалізації збільшується із зростанням потужності тепловогоджерела Q і зменшується із збільшенням коефіцієнта поглинання ПЃ.
Малюнок 1
Малюнок 1 описуєтеплові обурення які виявляються локалізованими в обмеженійпросторової області так як теплові обурення від джерела проникають внелінійну середу з об'ємним поглинанням лише на кінцеву глибину навіть занескінченний проміжок часу.
Ефект просторовоїлокалізації теплових збурень у розглянутій задачі обумовлений об'ємнимпоглинанням теплової енергії. Дійсно, якщо Те і, як випливає з виразу (3.10),, тобто в середу без об'ємного поглинання тепловіобурення проникають необмежено далеко.
Можливість створенняумов, коли утримання розігрітій середовища в обмеженій області просторуможна здійснити за рахунок внутрішніх механізмів нелінійного процесутеплопровідності, є принципово новим висновком, що випливає з аналізуматематичної моделі (3.1) нелінійного процесу теплопровідності. Реалізаціятаких умов є, зокрема, однією з практично важливих задач впроблеми керованого термоядерного синтезу.
Відзначимо, щосвоєрідний режим метастабільній локалізації теплових збурень можеспостерігатися і у відсутність в середовищі об'ємного поглинання теплоти. У цьому режимілокалізації фронт теплової хвилі залишається нерухомою протягом деякогокінцевого проміжку часу. Така локалізація теплових збурень спостерігаєтьсяпри нагріванні нелінійного середовища в режимі з "загостренням", колитемпература граничної поверхні зростає необмежено за кінцевий проміжокчасу. Таку локалізацію теплового впливу в режимі з загостреннямілюструє наступна крайова задача нелінійної теплопровідності упівпросторі:
(3.11)
Тут A0 = const Лѓ 0;
Параметр Т в задачі (3.11)назвемо часом загострення процесу розігріву нелінійного середовища, враховуючи, що при
Задача (3.11) маєпросте за формою рішення в разделяющихся змінних:
(3.12)
Так як при всіх для будь-якого, то фронт теплового обурення х = х0, на якомудорівнюють нулю температура та тепловий потік, відокремлює нагріту середу від холодної.Фронт нерухомий, незважаючи на необмежений
Малюнок 2
Малюнок 2 описуєякісний вид локалізованих температурних профілів зупинилася на частеплової хвилі в різні моменти часу інтервалу [0, T). зростання температури в області тепловихзбурень при. Впротягом проміжку часу [0, T) тепловіобурення від нагрітої стінки локалізовані в просторовій області кінцевих розмірі...
