Використовуючи загальне поняттятермічного опору теплопровідності, (1.0), отримуємо аналогічневираз
Кондуктивний тепловоїпотік через плоску стінку обумовлений перепадом температур поперек стінки, ійого поширенню протидіє термічний опір, пропорційнетовщині стінки і назад пропорційне коефіцієнту теплопровідності стінкиі площі її поперечного перерізу.
Якщо кондуктивний перенесеннятепла здійснюється через складену (багатошарову) плоску стінку,розподіл температури і тепловий потік можна знайти, припускаючи, що теплотече по еквівалентній теплової ланцюга, що представляє суму термічнихопорів, відповідних окремим верствам з різних матеріалів.
В якості прикладутеплової ланцюга розглянемо плоску стінку (індекс 1), покриту двома шарамирізних ізоляційних матеріалів (індекси 2 і 3). Геометрія задачі показана нарисунку 1.2. Один і той же тепловий потік проходить послідовно через кожнетермічний опір, і, отже, теплова ланцюг складається зпослідовно з'єднаних термічних опорів. Якщо відомі властивостівсіх трьох матеріалів, задані геометричні характеристики і температури надвох зовнішніх поверхнях, тепловий потік можна знайти за допомогою співвідношення,аналогічного закону Ома:
(1.5)
Оскільки тепловий потікчерез багатошарову стінку відомий, можна знайти температури на поверхняхрозділу матеріалів, застосовуючи закон Ома для кожного шару. Наприклад, температуруТ x на поверхні розділу матеріалів 1 і 2 можна розрахувати заформулою
(1.6)
Часто в багатошаровихстінках шари матеріалів розташовані так, що тепловий потік через них теческоріше паралельно, ніж послідовно. У такому випадку в теплову ланцюгвключаються ділянки з паралельно з'єднаних термічних опорів.
Тепловий потіквизначається за формулою
(1.7)
Окремі термічніопору виражаються співвідношенням
.
Проміжні температуритипу Т X можна знайти з рівняння (1.6).
Передбачається, що припаралельному з'єднанні термічних опорів R 2 і R 3 тепловий потік залишається одномірним; якщо ж опору R 2 і R 3 помітно відрізняються один від одного, можуть стати істотними двовимірні ефекти.
1.3 Циліндричнікоординати
З задач теплопровідностідля тіл циліндричної форми найчастіше зустрічається задача про кондуктивноготепловому потоці через довгий порожнистий циліндр (рисунок 1.3). Відомо, щотемпература внутрішньої поверхні циліндра дорівнює T i , а температуразовнішньої поверхні Т про . Стаціонарний розподіл температури втвердому тілі з постійними теплофізичними властивостями при відсутностівнутрішнього тепловиділення визначається рішенням рівняння теплопровідності придвох граничних умовах: Т (r i ) = T i ; Т (r 0 ) = Т 0 .Рішення для місцевої температури Т (r) має вигляд
(1.8)
Вираз (1.8)записується в безрозмірною формі таким чином:
. (1.9)
Отже,температура змінюється в радіальному напрямку за логарифмічною закону.
Оскільки розподілтемператури відомо, тепловий потік уздовж радіуса циліндра можна знайти здопомогою закону Фур'є для циліндричної системи координат,
(1.10)
де - довжина циліндра.
Диференціюючирозподіл температури (1.8) і підставляючи отриманий результат у співвідношення(1.10), одержуємо
(1.11)
Вираз (1.11) записаноу формі закону Ома, і знаменник являє собою термічний опірпорожнього циліндра:
(1.12)
Використовуємо інтегральнуформу представленого термічного опору. Отримуємо
Принципипослідовного і паралельного з'єднання термічних опорів в ланцюг,справедливі для плоскої стінки в прямокутній системі координат, можназастосувати і для задачі про теплопровідності в порожнистому циліндрі. Припустимо,наприклад, що рідина тече в трубі, покритої теплоізоляційним матеріалом(Малюнок 1.4). Відомо, що середня температура рідини дорівнює T 1 ,а температура зовнішньої поверхні ізоляції Т 2 . Характеристикиматеріалу труби позначені індексом 1, а ізоляції-індексом 2. Конвективноетермічний опір рідини визначається формулою (1.01). Конвективноетермічний опір рідини потрібно з'єднати послідовно з двомакондуктивного термічними опорами для двох твердих матеріалів,оскільки тепловий потік поширюється послідовно через кожен з цихматеріалів.
Тепловий потік в ційзадачі виражається співвідношенням:
(1.13)
Термічнеопір, що входить в співвідношення (1.13), є сумою всіх термічнихопорів між двома відомими температурами. Якщо відомі температури Т 1 іТ 2 , то повний опір має дорівнювати сумі тільки кондуктивнихопорів труби та ізоляції. Температура Т x при відомомутепловому потоці знаходиться із співвідношення
(1.14)
1.4 Сферичнікоординати
Розподіл температуриі тепловий потік для полого кулі визначаються таким же чином, як для пологоциліндра і плоскої стінки. Стаціонарне одномірне розподіл температурипри відсутності внутрішнього тепловиділення визначається з рішення спрощеногорівняння теплопровідності, записаного в сферичних координатах. Церівняння має вигляд
Припускаємо, щограничними умовами є задані температури внутрішньої і зовнішньоїповерхні кулі (рисунок 1.5.): Т (r i ) = T i ; Т (r 0 ) = Т 0 .У такому випадку розподіл температури в підлогою кулі визначається співвідношенням
(1.15)
Отже,температура полого кулі змінюється в радіальному напрямку по гіперболічномузаконом.
Тепловий потік черезстінку кулі можна знайти, застосовуючи закон Фур'є до співвідношення (1.15). У підсумкуотримуємо
(1.16)
Таким чином,термічний опір стінки кулі виражається формулою
(1.17)
Для інтегральногопредставлення маємо
Використанняінтегрального представлення більшуніверсально, не вимагає математичного опису, інтегруваннядиференціального рівняння, визначення констант і т. д.
1.5 Сумарнийкоефіцієнт теплопередачі
Якщо в задачі теплообмінубере участь декілька термічних опорів, з'єднаних послідовно,паралельно або комбіновано, зручно ввести сумарний коефіцієнттеплопередачі, або сумарну питому теплову провідність. Сумарнийкоефіцієнт теплопередачі позначається через К і визначається формулою
(1.18)
Величина K граєту ж роль, що і коефіцієнт конвективної тепловіддачі a . І К , і a мають розмірність Вт/(м 2. град).Якщо співвідношення (1.18) порівняти з рівністю
, (1.19)
то видно, що К можна виразити через повне термічне опір ланцюга:
(1.20)
В якості прикладувикористання сумарного коефіцієнта теплопередачі розглянемо тришарову,плоску стінку, показану на малюнку 1.2. Величина К в цьому завданнізнаходиться за формулою
У цьому прикладі площіпоперечного перерізу всіх трьох матеріалів однакові, тому немає сумнівів, якуплоща потрібно використовувати в співвідношенні (1.20). Однак, якщо площі длякожного термічного опору різні, потрібно бути послідовними привиборі площі, що входить в співвідношення (1.20). Нагоди змінної площівідповідає задача про багатошарової циліндричної стінки з послідовнимз'єднанням термічних опорів. Величину KS для теплової ланцюга(Малюнок 1.4) можна визначити з формули
або
Відзначимо, що твір KS постійно, але величина K залежить від вибору відповідноїплощі. Припустимо, наприклад, що за характерну площу ми прийняли площавнутрішньої поверхні труби S i = 2 p r 1 L . У такому випадку величина K ,розрахована за S i , дорівнює
Якщо величина K розрахована по площі зовнішньої поверхні труби S 0 = 2 <...
