о взаємно-однозначна відповідність між комплексними числами й елементами безлічі До встановлює їх ізоморфізм. Отже, безліч До є поле комплексних чисел. Многочлен х грає роль уявної одиниці i і є рішенням рівняння.
Приклади.
Розберемо декілька прикладів моделей комплексних чисел.
№ 1.
Нехай М - множина всіх матриць другого порядку над полем дійсних чисел виду. Доведіть, що безліч М щодо операцій додавання і множення матриць ізоморфно полю всіх комплексних чисел С.
Рішення:
комплексний дійсний число матриця
- відображення.
- біектція
зберігає операцію В«+В»
- зберігає операцію «». Значить операції В«+В» і «» биективное
№ 2.
У безлічі R Г— R визначені операції: а); b) . Доведіть, що алгебра ізоморфна полю комплексних чисел. Вкажіть в цій алгебрі образ уявної одиниці і елементи, зворотний до (a, b).
Рішення:
a) ;
b)
Довести: ізоморфна полю, a, bОµR
Доказ:.
????
№ 3
Нехай M = R [x] - Кільце многочленів від однієї невідомої над полем R. На М визначимо відношення дають однакові залишки при діленні на многочлен. Доведіть, що ПЃ - Конгруенція щодо додавання і множення многочленів і фактор-кільце ізоморфно полю комплексних чисел.
Рішення:
М = R [x]
дають однакові залишки при діленні на многочлен
Нехай у відношення.
.
, де
, де
При додавання у нас вийде однаково
розділивши на
Отримаємо
№ 4.
Нехай Т = R Г— R Г— R - Безліч трійок дійсних чисел, на якому визначені операції Г… і 8 і бінарне відношення ПЃ:
,
,
.
Доведіть: алгебра - Коммутативное кільце;
1. комутативність виконується
2. асоціативність виконується
, - нейтральний елемент
, - симетричний елемент
дистрибутивного
1)
2) . Дистрибутивність виконується, оскільки (1) = (2) - доведено.
Висновок
Комплексні числа утворюють алгебраїчно замкнуте поле - це означає, що багаточлен ступеня n з комплексними коефіцієнтами має рівно n комплексних коренів. Це одна з головних причин широкого застосування комплексних чисел в математичних дослідженнях. Крім того, застосування комплексних чисел дозволяє зручно і компактно сформулювати багато математичні моделі, застосовувані в математичній фізиці і природничих науках.
Що ж таке модель комплексного числа?
Модель системи аксіом - це який-небудь математичних об'єкт, який відповідає даній системі аксіом. Істинність системи аксіом можна довести, тільки побудувавши модель в рамках іншої системи аксіом, яка вважається В«істинноїВ». Крім того, модель дозволяє наочно продемонструвати деякі особливості даної аксіоматичної теорії.
І так модель комплексного числа це система аксіом застосовних до даного комплексного числа, яку потрібно довести за допомогою певних операцій.
Список використовуваної літератури
1. Блох Ш.А. Числові системи. - Мінськ: Вища школа, 1982.
2. Нечаєв В. І. Числові системи. - М.: Просвещение, 1975.
3. kvant.mirror1.mccme.ru/1982/03/kompleksnye_chisla.htm - Понтрягин Л., Комплексні числа. - Журнал Квант № 3, 1983. Електронна версія
4. ru.wikipedia.org/wiki/ - «³кіпедіяВ» електронна енциклопедія
5. Феферман С., Числові системи. - М.: Наука, 1971.
6. Ларін С. В., Числові системи. - М.: Академія, 2001.
7. Reslib.com/book/Sbornik_zadach_po_algebre_i_teorii_chisel.
