площину АВС . Тоді S О”DBC = СоsО±S О”АBC і S О”D'BC = c оsО±S О”DBC (по лемі 1), тому c оsО± = . = .
Аналогічні рівності можна отримати і для трикутників D'АВ і D'АС . Складаючи їх і враховуючи, що сума площ трикутників D'НД , D'АС і D'АВ дорівнює площі трикутника АВС , отримуємо необхідну.
Задача.
Нехай всі плоскі кути при вершині D прямі; a , b , c - довжини ребер, що виходять з вершини D на площину ABC . Тоді
Доказ.
По теоремі Піфагора для прямокутного тетраедра
;
.
З іншого боку
(:
1 = ) => .
В§ 2. Ортоцентрического тетраєдри
На відміну від трикутника, висоти якого завжди перетинаються в одній точці - ортоцентр, не всякий тетраедр володіє аналогічним властивістю. Тетраедр, висоти якого перетинаються в одній точці, називається ортоцентрического. ми почнемо вивчення ортоцентрического тетраедрів з необхідних і достатніх умов ортоцентрічності, кожне з яких можна прийняти за визначення ортоцентрического тетраедра.
(1) Висоти тетраедра перетинаються в одній точці.
(2) Підстави висот тетраедра є ортоцентр граней.
(3) Кожні два протилежних ребра тетраедра перпендикулярні.
(4) Суми квадратів протилежних ребер тетраедра рівні.
(5) Відрізки, що сполучають середини протилежних ребер тетраедра, рівні.
(6) Твори косинусів протилежних двогранні кутів дорівнюють.
(7) Сума квадратів площ граней вчетверо менше суми квадратів творів протилежних ребер.
Доведемо деякі з них.
Доказ (3).
Нехай кожні два протилежних ребра тетраедра перпендикулярні.
Отже, висоти тетраедра попарно перетинаються. Якщо кілька прямих попарно перетинаються, то вони лежать в одній площині або проходять через одну точку. В одній площині висоти тетраедра лежати не можуть, так як інакше в одній площині лежали б і його вершини, тому вони перетинаються в одній точці.
Взагалі кажучи, для того щоб висоти тетраедра перетиналися в одній точці, необхідно і достатньо зажадати перпендикулярність тільки двох пар протилежних ребер. Доказ цієї пропозиції безпосередньо випливає з наступної задачі.
Задача 1.
Дан довільний тетраедр ABCD . Доведіть, що.
Рішення.
Нехай а = , b = , з = . Тоді , і, складаючи ці рівності, отримуємо необхідну.
Далі доведемо властивість (4).
Нехай а = , b = і з = . Рівність що, тобто (а, с) = 0 . Застосовуючи даний алгоритм до іншим парам протилежних ребер, очевидно, отримаємо шукане твердження.
Наведемо оказательство властивості (6).
Для доказу використовуємо наступні теореми:
- Теорема синусів. В«Твір довжин двох протилежних ребер тетраедра, поділене на твір синусів двогранні кутів при цих ребрах, одне і те ж для всіх трьох пар протилежних ребер тетраедра В».
- Теорема Бертшнейдера. В«Якщо a і b - Довжини двох перехресних ребер тетраедра, а - двогранні кути при цих ребрах, то величина не залежить від вибору пари перехресних ребер.
Скориставшись теоремою синусів для тетраедра і теоремою Бертшнейдера, отримуємо, що твори косинусів протилежних двогранні кутів рівні тоді і тільки тоді, коли дорівнюють суми квадратів протилежних ребер, з чого і слід справедливість властивості (6) ортоцентрического тетраедра.
На закінчення пункту про ортоцентрического тетраедра вирішимо кілька завдань на цю тему.
Завдання 2.
Доведіть, що в ортоцентрического тетраедра виконується співвідношення ОН 2 = 4R 2 -3d 2 , де Про - центр описаної сфери, H - точка перетину висот, R - радіус описаної сфери, d - відстань між серединами протилежних ребер.
Рішення.
Нехай К і L - Середини ребер АВ і СD відповідно. Точка Н лежітт в площині, що проходить через СD перепендикулярно АВ , а точка Про - В площині, що проходить черех К перпендикулярно АВ.
Ці площини симетричні відносно центру мас тетраедра - середини відрізка KL . Розглядаючи такі площини для всіх ребер, отримуємо, що точки Н і Про симетричні щодо М , а значить КLМО - паралелограм. Квадрати його сторін рівні і, тому. Розглядаючи перетин, що проходить через точку М паралельно АВ і СD , отримуємо що АВ 2 + CD 2 = 4d 2 .
Тут можна додати, що пряму, на якій лежать точки О, М і Н , називають прямою Ейлера ортоцентрического тетраедра.
Зауваження.
Поряд з прямою Ейлера можна відзначити існування сфер Ейлера для ортоцентрического тераедра, про
Завдання 3.
наступного завдання.
Завдання 4.
тобто тобто Звідси випливає, що Випадок
Доказ.
(5). тетраедра. сфери.
Задача 5.
Доказ.
2).
Тепер тобто
В§ 3.
Вище було дорівнюють. (2).
a) Плоский
b) Якщо Властивість
Рішення.
квадрат. Ці Отже, DВ = 2DK . Нехай Р - середина відрізка DВ , тоді Р лежить на прямій SO . Трикутники DOK і DOP рівні, тому що DK = DP і DКO = DPO = 90 В° . Тому ВР = ОК = R , де R - радіус сфери, а значить, DB теж стосується сфери.
В§ 4. Равногранние тетраєдри
Равногранним називається тетраедр, всі грані якого рівні. Щоб уявити собі равногранний тетраедр, візьмемо довільний гострокутний трикутник з паперу, і будемо згинати його за середніми лініях. Тоді три вершини зійдуться в одну точку, а половинки сторін зімкнуться, утворюючи бічні ребра тетраедра.
(0) Грані конгруентний.
(1) схрещують ребра попарно рівні.
(2) Тригранні кути рівні.
(3) Протилежні двогранні кути рівні.
(4) Два плоских кута, спираються на одне ребро, рівні.
(5) Сума плоских кутів при кожній вершині дорівнює 180 В°.
(6) Розгортка тетраедра - трикутник або паралелограм.
(7) Описаний паралелепіпед прямокутний.
(8) Тетраедр має три осі симетрії.
(9) Загальні перпендикуляри перехресних ребер попарно
перпендикулярні.
(10) Середні лінії попарно перпендикулярні.
(11) периметру граней дорівнюють.
(12) Площі граней дорівнюють.
(13) Висоти тетраедра дорівнюють.
(14) Відрізки, що сполучають вершини з центрами тяжіння протилежних граней, рівні.
(15) Радіуси описаних близько граней окружностей рівні.
(16) Центр ваги тетраедра збігається з центром описаної сфери.
(17) Центр ваги збігається з центром уписаної сфери.
(18) Центр описаної сфери збігається з центром вписаного.
(19) Вписана сфера стосується граней в центрах описаних близько цих
граней окружностей.
(20) Сума зовнішніх одиничних нормалей (одиничних векторів,
перпендикулярних до граням), дорівнює нулю.
(21) Сума всіх двогранні кутів дорівнює нулю.
Практично всі властивості равногранного тетраедра слідують з його
виз...
