яма А'В '. Причому обидві прямі або перетинаються на осі хх, або обидві паралельні осі.
Таким чином, прямої лінії на одній площині відповідає пряма ж лінія на інший. Це властивість перспективно-афінної відповідності називають колінеарні. В силу самого визначення паралельної проекції фігури як геометричного місця проекцій всіх точок цієї фігури кожній точці, що лежить на прямий, завжди відповідає точка, що на відповідній прямій. Тому взаімопрінадлежності точки і прямої на одній площині тягне за собою взаімопрінадлежності відповідних елементів на другий.
2. Наступна властивість перспективно-афінної відповідності Щодо так званого простого відносини трьох точок прямої.
Розглянемо три точки А, В, С, лежать на одній прямій (рис 1). Просте відношення точок А, В, С визначається формулою:
геометричний перетворення аффінних відповідність
У цій формулою точки А і В вважаються основними (або базисними), а точка С-делящей. Просте відношення (ABC) являє собою відношення довжин тих відрізків, які що ділить точка утворює з основними. Якщо точка С лежить поза відрізка А В, то обидва відрізка АС і НД однаково спрямовані, і тому в цьому випадку просте відношення (ABC) позитивно. У разі, коли ділить точка С знаходиться між А і В, просте ставлення (ABC) негативно.
На кресленні 1 видно, що точкам А, В, С площині w відповідають точки А ', В ', С' площини w '. Так як проектують прямі АА ', ВВ', СС 'паралельні, то будемо мати:
або (ABC) = (А'В'С ').
Ми приходимо до висновку, що в перспективно-афінному відповідно просте відношення трьох точок прямої одній площині завжди одно простому відношенню трьох відповідних точок інший.
3. Перш ніж перейти до розгляду подальших властивостей перспективно-афінної відповідності, зупинимося на питанні про можливе розташуванні відповідних площин w і w 'в просторі.
До цих пір ми припускали ці площини незбіжними і пересічними по лінії хх з тією метою, щоб за допомогою паралельного проектування встановити розглянуте вище Отже, як у
Прямі, Це видно з
У випадку
Зауважимо, що
Доказ.
Проведемо паралельної проекції.
Примітка.
5. незалежними. Припущення, що
Таким перетворення.
Далі Знаючи,
Таким
Останнє Відповідно.
6. Доказ.
Можемо
Отримане
Доказ Ставлення
2.
Відповідні У самому справі,
Тому будемо мати:
3 Загальний
Нехай на Площа
Всі
Отже,
7. В трикутників.
Для
Так як,
Таким чином, отримуємо:
Нарешті,
Позначимо Будемо
S =
w "'встановлюється відповідність, в якому точкам A, B, C першої площини відповідають точки А '", В'", С "другий. Неважко переконатися в тому, що це відповідність може не бути паралельної проекцією, але в той же час володіє інваріантними властивостями перспективно-афінної відповідності. У самому справі, відповідність площин w і w "'є ланцюгом послідовних паралельних проектирований. Так як кожне таке проектування зберігає коллінеарність і просте відношення трьох точок, то тими ж властивостями повинно, очевидно, володіти і результуюче відповідність площин w і w'' '.
Те ж саме можна сказати і про решту інваріантних властивостях, розглянутих у разі перспективно-афінної відповідності, яке виявляється, таким чином, лише тим окремим випадком, коли прямі, що з'єднують відповідні точки, паралельні між собою:
За цією саме причини таке відповідність називається перспективно-аффінним.
Відповідність ж площин w і w'' ' називається афінному. Ми прийшли до цього поняття, скориставшись ланцюгом перспективно-афінних перетворень (або паралельних проекцій). Якщо кожне з них позначимо буквами Р, Р ', Р "а результуюче перетворення - літерою А, можемо уявити Афінний перетворення А наступної символічною формулою:
А = Р• Р '• Р ",
в якій права частина являє собою В«твірВ» перспективно-афінних перетворень, тобто результат їх послідовного застосування.
Ті ж міркування можна було б провести, не виходячи з однієї площини, для чого достатньо розглядати ланцюг перспективно-афінних перетворень площини в себе. Кожне з перетворень може бути задане віссю і парою відповідних точок. Так, наприклад, на кресленні 1 грудня перетворення Р задано віссю хх і парою (А, А '), друге Р' - віссю і парою (А ', А "), третє Р" - віссю х "х" і парою (А'' А '"). У результуючому перетворенні А точці А відповідає точка А '". На тому ж кресленні показано побудову точки В "', відповідної точці В.
Викладене показує, що перетворення, отримані за допомогою ланцюга паралельних проекцій (або перспективно-афінних перетворень), мають властивості колінеарності та збереження простого відношення трьох точок.
2.4 Застосування афінних перетворень при розв'язанні задач
Якщо в задачі зачіпаються тільки такі властивості фігур, які зберігаються при довільному афінному перетворенні, то задача називається афінної. Якщо ж в задачі мова йде про властивості, зберігаються при перетвореннях подібності, але Порушується при якому-або афінному перетворенні, то задача називається метричної. Наприклад, завдання В«довести, що медіани трикутника перетинаються в одній точці В»- аффинная, а такі ж завдання для висот і бісектрис- метричні.
Для рішення афінних задач рекомендуються наступні прийоми:
1. Яку- або з фігур аффінним перетворенням перевести в більш просту, наприклад, трикутник - В правильний трикутник, паралелограм-в квадрат і т.д.
2. Застосувати афінні координати.
Ці ідеї ілюструються першими двома з наступних завдань.
1) Доведіть, що пряма, що з'єднує точку Р перетину діагоналей трапеції АВСD з точкою перетину Q бічних сторін, проходить через середини основ трапеції.
Спосіб рішення 1. Візьмемо довільний трикутник А'О'D '(рис.10) і розглянемо Афінний перетворення О±:. Позначимо точки перетину прямий РQ з підставами через х і у. Позначимо О± (В) = В ', О± (С) = С', О± (Р) = Р 'і т.д. Очевидно, що точка Р 'є точка перетину А'С' і В'D ', точка х'-точка перетину А'D ' і Р'Q ', точка у'-точка перетину В'С 'і Р'Q'. Так як. То досить показати, що.
Спосіб рішення 2. Приймемо точку А за початок координат і візьмемо такі координатні вектори:. Абсцису точки C позначимо а. Маємо: А (0,0), В (0,1), С (а, 1), D (1,0). Рівняння прямої CD знайдемо по двом точкам.
CD: х-у (1-а) -1-0
Вирішуючи це рівняння спільно з рівнянням осі ОУ (х в‰ 0) знаходимо Q (0,1/(1-a))
Тепер знайдемо координати точки Р. Вирішуючи спільно рівняння BD: x + y-1 = 0, AC: x-ay = 0 знаходимо: Р (а/(1 + а), 1/(1 + а))
Знаходимо рівняння PQ: 2х + у (1-а) -1 = 0 після чого знаходимо координати точок х і у: х (1/2, 0), у (а/2,0), що і доводить потрібне.
2) На сторонах трикутника АВС відкладемо відрізки АА1 = 1/3АВ, ВВ1 = 1/3ВС, СС1 = 1/3СА. Доведіть, що точки перетину медіан трикутника АВС і А1В1С1 збігаються (мал.11).
Рішення. 1 спосіб. Візьмемо правильний трикутник А'В'С 'і зробимо Афінний перетворення:
О±: .
Тоді трикутник А1В1С1 перейде теж в правильний трикутник А'1 В'1С'1, так як А'А'1 = В'В'1 = С'С'1.
Точки перетину медіан трикутників АВС і А1В1С1, А'В'С 'і А'1 В'1С'1 позначимо відповідно О, О1, О ', О'1, причому О± (0) = 0', О± (01) = 0'1. Тому достатньо показати, що 0 '= 0'1.
2 спосіб аналітичний.
Дан правильний шестикутник АВСDEF. Побудуйте його афінних образ.
Рішення. Задамо Афінний перетворення О±:. Точку С 'знайдемо з того, що В'С' | | A'D ' і B'C '= 1/2A' D '. Точку Е 'знайдемо з того, що D'E' | | A'B ' і D'E '= A'B'
Аналогічно знайдемо F '. Зрозуміло, хід побудови може бути яким-небудь іншим.
Перспективно-Афінний перетворення
нетотожності Афінний перетворення називається...
