Втім, це ще не та формула, до якої ми прагнемо - добуток двох нескінченно малих треба відкинути. Ми прийдемо до
лінійної щодо формулою, звідки вже, В«ПідсумовуючиВ», остаточно отримаємо (12)
де під y надолужити розуміти фігурує в (11) функцію.
Якщо повернутися до загального параметричного завданням (10) нашої кривої, то, зробивши в попередньому інтегралі заміну змінної, перетворимо його до виду (креслення 12)
. (12а)
Зокрема, якщо крива задана явним рівнянням, так що в ролі параметра виявляється x , будемо мати:
. (12б)
Приклади:
1). Визначити площу поверхні кульового пояса.
Нехай півколо, описаний близько початку радіусом r , обертається навколо осі x . З рівняння кола маємо; далі,,,. У такому випадку площа поверхні пояса, описаного дугою, кінці якої мають абсциси і, за формулою (12б) буде, де h - висота пояса. Таким чином, площа поверхні кульового пояса дорівнює добутку окружності великого кола на висоту пояса. В Зокрема, при і, тобто при, отримуємо площа всієї кульової поверхні.
2). Знайти площу поверхні, утвореної обертанням дуги циклоїди,.
Так як,, то
.
1.5 Знаходження статичних моментів і центру тяжіння кривої
Як відомо, статичний момент K матеріальної точки маси m щодо деякої осі дорівнює твору з маси m на відстань d точки від осі. У випадку системи n матеріальних точок з масами, що лежать в одній площині з віссю, відповідно, на відстанях від осі, статичний момент виразиться сумою.
При цьому відстані точок, що лежать по одну сторону від осі, беруться зі знаком плюс, а відстані точок по інший бік - зі знаком мінус.
Якщо ж маси не зосереджені в окремих точках, але розташовані суцільним чином, заповнюючи лінію або плоску фігуру, то тоді для вираження статичного моменту замість суми потрібно інтеграл.
Зупинимося на визначенні статичного моменту відносно осі x мас, розташованих уздовж деякої плоскої кривої AB . При цьому іи припустимо криву однорідною, так що її лінійна щільність (тобто маса, припадає на одиницю довжини) буде постійною; для простоти допустимо навіть, що = 1 (в Інакше отриманий результат лише помножити на). При цих припущеннях маса будь дуги нашої кривої вимірюється просто її довжиною, і поняття про статичний моменті набуває суто геометричний характер. Зауважимо, взагалі, що коли говорять про статичному моменті (або центрі ваги) кривої - без згадки про розподілі уздовж по ній мас, то завжди мають на увазі статичний момент (Центр ваги), визначений саме при зазначених припущеннях.
Виділимо знову якийсь елемент кривої (Маса якого також виражається числом). Прийнявши цей елемент наближено за матеріальну точку, що лежить на відстані y від осі, для його статичного моменту отримаємо вираз. Підсумовуючи ці елементарні статичні моменти, причому за незалежну змінну візьмемо дугу s , відраховується від точки A , отримаємо. Аналогічно висловлюється і момент відносно осі y :. Звичайно, тут передбачається, що y (або x ) виражено через s . Практично в цих формулах виражають s через ту змінну t , x або, яка грає роль незалежної В (13)
1). дорівнює. За
2).
,
Щоб визначити Якщо через
,. (15)
У самому випадку.
Приклади:
1).
,.
2).
робота Частіше, однак,
незалежної змінної.
. (16)
Приклад.
.
енергії.
2.
,
.
.
Значення
.
. ,
1.Разобьем область на частини: і розглянемо ряд циліндричних стовпчиків. (Креслення 20)
2. Візьмемо.
3. , Де - площа.
4. Отримали інтегральну суму.
5. , Де - довжина найбільшого діаметра часткової області.
У підсумку обсяг.
Приклад: Знайти об'єм тіла, вирізаного циліндром зі сфери (В«тіло ВівіаніВ») (креслення 21).
,
де P є півколо в першому квадранті площині xoy , обмежений лініями і. Перейдемо до полярних координатам, тоді рівняння контуру P буде при.
Таким чином, обсяг
.
2.4 Механічні додатка
Нехай маси безперервним чином розподілені по області ( P ), причому щільність в точці нехай буде. Тоді елемент маси, вся маса.
Елементарні статичні моменти і моменти інерції щодо осей координат будуть,,
,. Звідси
.
Отримаємо координати центру тяжкості.
Нехай в просторі дан брус. Його елементарні статичні моменти будуть
.
Звідси координати центру тяжкості
.
Формули для моментів інерції бруса відносно осі z і, - щодо площин координат yz, zx:
.
Приклад: Знайти центр тяжкості однорідного еліпсоїда, що міститься в першому Октант (креслення 22). (Креслення 22)
Область ( P ) обмежена координатними осями і дугою еліпса, рівняння еліпсоїда в явному вигляді
. Тоді
. Аналогічно,. Обсяг. Знайдемо координати центру тяжіння.
3. Криволінійний інтеграл
3.1 Вираження площі за допомогою криволінійних інтегралів
Запишемо спочатку формулу Гріна:.
Якщо функції P і Q у формулі Гріна підібрати так, щоб, то подвійний інтеграл приведеться до площі D .
Якщо і, то,
якщо і, то,
якщо і, то. Остання формула є найбільш уживаною.
Приклад: Знайти площу еліпса з півосями a і b . Скористаємося параметричними рівняннями еліпса:,. Тоді.
3.2 Додатки до фізичним задачам
Робота силового поля . Нехай в кожній точці M площині xy на вміщену в неї одиницю маси діє певна сила. Дана площина називається силовим полем, а сила - напругою поля. З малюнка видно,.
Нехай точка M (x, y) рухається і описує деяку безперервну криву ( K ). Обчислимо роботу A , яку при цьому русі здійснюють сили поля. В випадку прямолінійного руху, де
У разі Непрямолінійність руху і непостійною сили станемо визначати положення точки M на кривій ( K ) довжиною s дуги AM . Тоді. Підсумуємо, робота виразиться криволінійним інтегралом першого типу:. Нехай - кут між напрямком елемента і віссю x , тоді. Остаточно робота силового поля виразиться криволінійним інтегралом другого типу:.
Плоске усталене рух нестисливої вЂ‹вЂ‹рідини.
При такому русі всі частинки, лежать на одній вертикалі до деякої площини, мають одну і ту ж швидкість. Швидкість частинки рідини залежить тільки від положення частинки, але не від часу.
Якщо позначити кут, складений вектором з віссю x , через, а проекції цього вектора на координатні осі - через і, то. Кількість Q рідини, що протікає через криву ( K ) в певну від неї бік в одиницю часу, запишеться у вигляді криволінійного інтеграла першого типу.
Так як, то. Перейдемо до криволінійному інтегралу другого типу.
4. Поверхневі інтеграли
4.1 Площа поверхні, заданої явним рівнянням
Нехай поверхня задана явним рівнянням, причому змінюються в квадріруемой області на площині, і в ц...
