даптивні алгоритми вільні від цього недоліку.
4.1 Ковзні середні
Метод ковзних середніх - один з найстаріших і широко відомих способів виділення детермінованої складової часового ряду. Суть методу полягає в усередненні вихідного ряду на інтервалі часу, довжина якого обрана заздалегідь. При цьому сам обраний інтервал ковзає уздовж ряду, зрушуючи кожен раз на один такт вправо (звідси назва методу). За рахунок усереднення вдається істотно зменшити дисперсію випадкової складової.
Ряд нових значень стає більш гладким, ось чому подібну процедуру називають згладжуванням часового ряду.
Процедуру згладжування розглянемо спочатку для ряду, що містить лише трендову складову, на яку адитивно накладено випадкових компонент.
Як відомо, гладка функція може бути локально представлена ​​у вигляді полінома з досить високим ступенем точності. Відкладемо від початку тимчасового ряду інтервал часу довжиною (2 m +1) точок і побудуємо поліном ступеня m для відібраних значень і використовуємо цей поліном для визначення значення тренда в ( m +1 )-й, середньої, точці групи.
Побудуємо для визначеності поліном 3-го порядку для інтервалу із семи спостережень. Для зручності подальших перетворень занумеруем моменти часу усередині обраного інтервалу так, щоб його середина мала нульове значення, тобто t = -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3. Запишемо
.
.
;
;
.
;
;
;
.
(1)
,
.
5
7
Просте липня.
.
сезонності.
.
і.
<b>
ряду. 6
;
;
;
;
.
.
Тепер (
.
.
.
,
,,
За
.
;.
;
;
;
;
;
.
згладжування.
5. сезонної компоненти Що ж стосується
.
методів.
.
вид
,
.
.
два. До
(1)
(2)
вигляді
(3)
Більше
.
.
,.
(4).
.
сезонні оператори більш високих порядків. Так, сезонний оператор другого порядку з періодом t є
.
Якщо ряд містить і тренд, і сезонну складову, їх можна виключити, послідовно застосовуючи оператори і.
Легко показати, що порядок застосування цих операторів не істотний:
.
Відзначимо також, що детермінований тренд, що складається з тренда і сезонної компоненти, після застосування операторів і повністю вироджується, тобто. Однак записавши останнє рівняння в рекурентною формою, отримуємо
.
З останнім співвідношення видно, яким чином ряд можна необмежено продовжувати, маючи спочатку принаймні t +1 послідовних значення.
6. Моделі випадкової складової часового ряду
лінійний ряд тимчасової система
Для зручності викладу домовимося позначати тут випадкові величини так, як це прийнято в математичній статистиці - малими літерами.
Випадковим процесом X ( t ) на безлічі Т називають функцію, значення якої випадкові при кожному t ГЋ T. Якщо елементи Т лічильні (дискретне час), то випадковий процес часто називають випадковою послідовністю.
Повний математичний опис випадкового процесу припускає завдання системи функцій розподілу:
- для кожного t ГЋ T, (1)
- для кожної пари елементів
(2)
і взагалі для будь-якого кінцевого числа елементів
(3).
Функції (1), (2), (3) називають конечномерное розподілами випадкового процесу.
Побудувати таку систему функції для довільного випадкового процесу практично неможливо. Зазвичай випадкові процеси задають за допомогою апріорних припущень про його властивості, таких як незалежність збільшень, марківський характер траєкторій і т. п.
Процес, у якого все Скінченновимірні розподілу нормальні, називається нормальним (гаусівських). Виявляється, що для повного опису такого процесу достатньо знання одно-і двовимірного розподілів (1), (2), що важливо з практичної точки зору, оскільки дозволяє обмежитися дослідженням математичного сподівання і кореляційної функцією процесу.
У теорії часових рядів використовуються ряд моделей випадкової складової, починаючи від найпростішої - В«білого шумуВ», до дуже складних типу авторегресії - ковзного середнього та інших, які будуються на базі білого шуму.
Перш ніж визначати процес білого шуму розглянемо послідовність незалежних випадкових величин, для якої функція розподілу є
.
З останнього співвідношення випливає, що всі Скінченновимірні розподілу послідовності визначаються за допомогою одномірних розподілів.
Якщо до того ж у такій послідовності складові її випадкові величини X ( t ) мають нульове математичне очікування і розподілені однаково при всіх t ГЋ T, то це - В«білий шум В». У випадку нормальності розподілу X ( t ) говорять про гауссовского білому шумі. Отже, гауссовский білий шум - послідовність незалежних нормально розподілених випадкових величин з нульовим математичним очікуванням і однаковою (загальною) дисперсією.
Більш складними моделями, широко використовуваними в теорії та практиці аналізу часових рядів, є лінійні моделі: процеси ковзного середнього, авторегресії та змішані.
Процес ковзного середнього порядку q являє собою зважену суму випадкових збурень:
(4),
де - незалежні однаково розподілені випадкові величини (білий шум);
- числові коефіцієнти.
Легко бачити з визначення, що у процесу ковзного середнього порядку q (скорочено CC ( q )) статистично залежними є ( q +1) поспіль йдуть величин X ( t ), X ( t -1), ..., X ( t - q ). Члени ряду, віддалені один від одного більше ніж на ( q +1) такт, статистично незалежні, оскільки в їх формуванні беруть участь різні складові.
Процесом авторегресії порядку p (скорочено АР ( р )) називають зважену обурену суму p минулих значень тимчасового ряду
(5),
де - випадкове збурювання, чинне в поточний момент t
- числові коефіцієнти.
Висловлюючи послідовно відповідно до співвідношення (5) X (t-1) через X (t-2),. . . , X (tp-1), потім X (t-2) через X (t-3),. . . , X (t-p-2) і т.д. отримаємо, що X (t) є нескінченна сума минулих збурень З цього випливає, члени процесу авторегресії X (t) і X (tk) статистично залежні при будь-якому k .
Процес АР (1) часто називають процесом Маркова, АР (2) - процесом Юла. В загальному випадку марковским називають такий процес, майбутнє якого визначається тільки його станом в сьогоденні і впливами на процес, які будуть опинятися в майбутньому, тоді як його стан до теперішнього моменту при цьому несуттєво. Процес АР (1)
є марковским, оскільки його стан в будь-який момент визначається через значення процесу, якщо відома величина в момент. Формально процес авторегресії довільного порядку також можна вважати марковским, якщо його станом в момент t вважати набір
( X (t), X (t-1), ..., X (tp-1)).
Більш повно моделі СС, АР, а також їх композиція: моделі авторегресії - ковзного середнього розглядаються далі (п.10.1.5). Зауважимо тільки, що всі вони представляються окремими випадками загальної лінійної моделі
(6)
де - вагові коефіцієнти, число яких, взагалі-то кажучи, нескінченно.
...
