ого, починаючи з періоду 6, похідні інвестиції прийняли від'ємне значення. Це пояснюється зниженням рівня доходу в попередньому періоді (I 6ін = -1,7, оскільки О”у 5 = y 5 - y 4 = 15,6). Сукупне споживання продовжувало зростати і в періоді 5 досягло максимальної величини (98,4), оскільки в попередньому періоді національний дохід був максимальний (164). Надалі, з 6 по 10 період відбувалося зниження обсягу споживання.
Табличні дані відображають затухаючі коливання національного доходу, сукупного споживання і похідних інвестицій. Якби діяв тільки один мультиплікатор, то при даному варіанті автономного інвестування система кинулася б до нового рівноважного стану. Підключення акселератора призвело до хвилеподібним коливанням економічної системи.
У даному числовому прикладі мультиплікатор та акселератор фігурують в якості постійних величин. У реальному економічному житті не існує постійних коефіцієнтів мультиплікації і акселерації в силу дії таких змінних факторів, як науково-технічний прогрес, сальдо торговельного балансу, товарні запаси, ступінь монополізації виробництва і т. д.
1.3 Лінійні кінцево-різницеві рівняння та їх застосування в економіці
Динаміка об'єктів різної природи часто описується рівняннями виду
x t = F ( x t -1 , x t -2 , ... , X t - n ), (7)
зв'язуючими стан об'єкта x t в будь-який момент часу t з станами в попередні моменти часу. Рішення рівняння (7) n -го порядку визначено однозначно, якщо задані n так званих початкових умов. Зазвичай в якості початкових умов розглядаються значення x t при t = 0, 1, ..., n - 1.
Підставляючи початкові значення x n -1 , ... , X 1 , x 0 і t = n в якості аргументів функції в правій частині (7), знаходимо x n ; використовуючи знайдене значення і підставляючи тепер x n , x n -1 , ... , X 2 x 1 і t = n + 1 в якості аргументів функції, знаходимо x n +1 , і т.д. Процес може бути продовжений до тих пір, поки не будуть вичерпані всі представляють інтерес значення t .
У моделі економічних циклів Самуельсона-Хікса використовуються кінцево-різницеві рівняння виду x t = A 1 x t -1 + a 2 x t -2 + F ( t ) - лінійні кінцево-різницеві рівняння другого порядку, є приватним видом рівняння (7). Вони називаються однорідними, якщо f ( t ) = 0 при будь-яких t , неоднорідними - в іншому випадку. І для знаходження, і для дослідження властивостей рішення однорідного рівняння
x t = a 1 x t -1 + A 2 x t -2, (8)
використовується так зване характеристичне рівняння
- a 1 - a 2, (9)
Позначимо його коріння 1 , 2 і запишемо
У теорії звичайно-різницевих рівнянь [4] доводиться, що при 1 2 рішення рівняння (8) описується рівністю
, (10)
де A 1 і A 2 - постійні, що визначаються початковими умовами.
Якщо ж 1 = 2 =, то рішення має вигляд
, (11)
Рішення рівняння (8) залежить від значення дискримінанта характеристичного рівняння (9).
Розглянемо виникаючі при цьому случаі.1. D > 0. Характеристичне рівняння має два різних речових кореня. Рішення описується рівністю (10); якщо обидва кореня позитивні, то обидві компоненти рішення - монотонні геометричні прогресії. Якщо є негативні коріння, то кожному з них відповідає Знакозмінні складова рішення (10) .2. D = 0. Характеристичне рівняння має співпадаючі речові коріння, і рішення має вигляд (11).
3. D <0. Характеристичне рівняння має пару сполучених комплексних коренів: 1,2 = i .
Рівність (10) при цьому справедливо, але незручно для використання, так як речовинний процес при цьому описується як сума комплексних складових. Більш зручну форму рішення можна отримати, використовуючи тригонометричне уявлення коренів: 1,2 = g (cos sin), де Таке подання дозволяє описати рішення рівняння (8) рівністю
, (12)
де B 1 і B 2 - постійні, що визначаються початковими умовами.
Таким чином, при D <0 рішення носить характер коливань, амплітуда яких зростає (при g > 1) або зменшується (при g <1);
Рішення рівняння (8) називають рівноважним, якщо значення x t не змінюється в часі. Підстановкою в рівняння (8) можна переконатися, що x t = 0 є рівноважне рішення. Рівноважний рішення називається стійким, якщо x t 0 при t , В іншому випадку воно називається нестійким. Рівності (10) і (11) показують, що рішення буде стійким у тому і тільки в тому випадку, якщо обидва кореня характеристичного рівняння по модулю менше одиниці. У разі D <0 умові стійкості відповідає g <1, так як при цьому необхідним та достатньою умовою стійкості є a 2 > -1. За теоремі Вієта 1 2 = - a 2 , так що умова a 2 > -1 необхідно і в разі D > 0, але тут воно не є достатнім. Система нерівностей
дає необхідне і достатня умова стійкості для даного випадку. Для цього потрібно, щоб виконувалася нерівність
Систему можна замінити одним нерівністю
Об'єднуючи всі отримані результати, умова стійкості можна представити у вигляді подвійного нерівності
, (13)
Рівняння моделі економічних циклів Самуельсона-Хікса має вигляд рівняння (8), при цьому
Зауважимо, що C y 0 і 0 в силу економічного змісту цих параметрів. Згідно з теоремою Вієта,
, (14)
Умова D = 0, розділяє коливальні і неколебательние рішення, тепер має вигляд
При характеристичне рівняння має речові коріння. З неотрицательности параметрів C y і і рівностей (14) випливає, що обидва кореня ненегативні і обидві компоненти рішення (10) змінюються монотонно. При рішення носить коливальний характер.
Умова стійкості (13) тепер приймає вигляд
тобто являє собою систему нерівностей
На рис. 4. сталому рухові відповідають області I (монотонне рух) і II (коливальний рух). Нестійкого руху відповідають області III (коливальний рух) і IV (монотонне). Області V відповідають синусоїдальні коливання з постійною амплітудою.
[5]
Рис. 4. Стилізовані фази економічного циклу
Різницеві рівняння відіграють велику роль в економічній теорії. Багато економічні закони доводять за допомогою саме цих рівнянь, вони використовуються в тих випадках, економічної теорії
1.
2. запасами.
3.
4.
РОЗДІЛ 2. МОДЕЛЬ
Підприємці
Подивимося, яка буде динаміка національного доходу, якщо в стані динамічної рівноваги зміниться величина автономного попиту. ...
