ифіковане для обліку електронів і дірок зрізних долин (K, K '). У підсумку ми одержали вісім диференційних рівняньпершого порядку, які мають такі характеристики носіїв, якналежність до певної підгратці (A, B) кристала, знаходження в долині(K, K ') і проекцію спина. Рішення цих рівнянь описують частинки зпозитивною енергією (електрони) і античастинки з негативною енергією(Дірки). Зазвичай спін електрона не беруть до уваги (коли відсутнісильні магнітні поля) і гамільтоніан рівняння Дірака записується у вигляді:
де - вектор-рядок,складається з матриць Паулі.
Лінійнийзакон дисперсії призводить до лінійної залежності густини станів від енергії,на відміну від звичайних двовимірних систем з параболічним законом дисперсії, де щільність станів не залежить від енергії. Щільність станів у графенізадається стандартним способом
девираз під інтегралом і є шукана щільність станів (на одиницюплощі):
Де gs і gv - спіновий і долини виродження відповідно,а модуль енергії з'являється, щоб описати електрони і дірки однією формулою.Звідси видно, що при нульовій енергії щільність станів дорівнює нулю, тобтовідсутні носії (при нульовій температурі).
Концентраціяелектронів задається інтегралом по енергії
Де EF - рівень Фермі. Якщо температура мала впорівняно з рівнем Фермі, то можна обмежитися випадком виродженого
Тут також
Завдякинулю.
деЩільність
Досліджуючиносіїв.
З
Якщо
Згода
Розглянемо
МатриціМатриціДанийМожна показати, щоВ
5.2
Переважна
5.2.1
ТеоретичноДля поліпшенняВ
В
Вперше6.Якщо рівеньОсновне
Рис. 6. b)
В
ЧерезУ такихДля
т. д.
Для
6.
7.ті Ферміон Дірака,описуються рівнянням Дірака,хоча в ефекті Шубнікова-де Гааза (осциляції магнетоопору)спостережувані осциляції відповідають кінцевій циклотронною масі.
Так як закондисперсії для носіїв ідентичний закону для безмассових частинок, графен можевиступати в якості експериментальної лабораторії для квантової електродинаміки.
Квантовийефект Холла в графені може спостерігатися навіть при кімнатній температурі через велику циклотронною енергії, приякої температурне розмиття функції розподілу Фермі-Дірака менше цієїенергії (це відстань між першим і нульовим рівнямиЛандау дорівнює 1200 K при магнітному полі 9 Т).
Призгортанні графена в циліндр (див. Рис. 7) виходить одностінні нанотрубка.В залежності від конкретної схеми згортання графітової площини, нанотрубкиможуть володіти або металевими, або напівпровідниковими властивостями.
У графенівідсутня вігнеровская кристалізація.
У графеніпорушується наближенняБорна-Оппенгеймера (адіабатичненаближення), що свідчить, що в силу повільного руху іонних остовів решіткиїх можна включити в розгляд як обурення, відоме як фонони решітки, -основне наближення, на якому будується зонна теорія твердих тіл.
За отриманняі дослідження властивостей графену, Нобелівська премія 2010 року з фізикиприсуджена Андрію Гейму і КостянтинуНовоселову.
Література
1.Novoselov K.S. et al. В«Electric Field Effect in Atomically ThinCarbon Films В», Science 306, 666 (2004)
2.Bunch J.S. et. al. Electromechanical Resonators from GrapheneSheets Science 315, 490 (2007)
3.Chen Zh. et. al. Graphene Nano-Ribbon Electronics Physica E 40,228 (2007)
4.Novoselov, K. S. et al. В«Two-dimensional atomic crystalsВ», PNAS102, 10451 (2005)
5.Rollings E. et. al. Synthesis and characterization of atomicallythin graphite films on a silicon carbide substrate J. Phys. Chem. Solids 67, 2172(2006)
6.Hass J. et. al. Highly ordered graphene for two dimensionalelectronics Appl. Phys. Lett. 89, 143 106 (2006)
7.Novoselov K.S. et al. В«Two-dimensional gas of massless Diracfermions in graphene В», Nature 438, 197 (2005)
8.Shioyama H. Cleavage of graphite to graphene J. Mat. Sci. Lett. 20, 499-500 (2001)
9.ЛандауЛ.Д., Ліфшиц О.М. Статистична фізика. - 2001.
10.Zhang Y. et al. Fabrication and electric-field-dependent transportmeasurements of mesoscopic graphite devices Appl. Phys. Lett. 86, 073104(2005)
11.Parvizi F., et. al. Graphene Synthesis via the High Pressure -High Temperature Growth Process Micro Nano Lett., 3, 29 (2008)
12.Sidorov A.N. et al., Electrostatic deposition of grapheneNanotechnology 18, 135 301 (2007)
13.J. Hass et. al. Why Multilayer Graphene on 4H-SiC (000-1) BehavesLike a Single Sheet of Graphene Phys. Rev. Lett. 100, 125 504 (2008).
14.S.R.C. Vivekchand; Chandra Sekhar Rout, K.S. Subrahmanyam, A. Govindarajand C.N.R. Rao (2008). "Graphene-based electrochemicalsupercapacitors ". J. Chem. Sci., Indian Academy of Sciences 120, January2008: 9-13.
15.СтаттяГрафен з Вікіпедії, вільної енциклопедії. Доступно під ліцензією Creative Commons Attribution-Share Alike
