Серед моделей випадкової складової виділимо важливий клас - стаціонарні процеси, такі, властивості яких не змінюються в часі. Випадковий процес Y (t) називається стаціонарним, якщо для будь-яких n , розподілу випадкових величин і однакові. Іншими словами, функції скінченновимірних розподілів не змінюються при зсуві часу:
.
Утворюють стаціонарну послідовність випадкові величини розподілені однаково, так що визначений вище процес білого шуму є стаціонарним.
7.Чісловие характеристики випадкової складової
При аналізі часових рядів використовуються числові характеристики, аналогічні характеристикам випадкових величин:
- математичне очікування (середнє значення процесу)
;
- автоковаріаціонная функція
;
- дисперсія
;
- стандартне відхилення
- автокореляційна функція
- приватна автокореляційна функція
Зауважимо, що в операторі функції усереднення відбувається при незмінному t , тобто мається математичне очікування по безлічі реалізацій (взагалі кажучи, потенційних оскільки В«в річку часу не можна увійти двічі В»).
Розглянемо введені числові характеристики для стаціонарних процесів. З визначення стаціонарності випливає, що для будь-яких s , t і
поклавши = - t , отримуємо
(1)
Виходить, у стаціонарного процесу математичне очікування і дисперсія однакові при будь-якому t , а автоковаріаціонная і автокореляційна функції залежать не від моменту часу s або t , а лише від їх різниці (лага).
Відзначимо, що виконання властивостей (1) ще не тягне стаціонарності в сенсі визначення з п.6. Тим не менш сталість перших двох моментів, а також залежність автокореляційної функції тільки від лага виразно відображає деяку незмінність процесу в часі. Якщо виконані умови (1), то говорять про стаціонарності процесу в широкому сенсі, тоді як виконання умов () означає стаціонарність у вузькому (строгому) сенсі.
Дане вище визначення білого шуму треба трактувати у вузькому сенсі. На практиці часто обмежуються білим шумом в широкому сенсі, під яким розуміють часовий ряд (випадковий процес), у якого = 0 і
Відзначимо, що Гаусовим процес, стаціонарний у вузькому сенсі, стационарен і в широкому сенсі.
Про стаціонарності в широкому сенсі судити набагато простіше. Для цього використовують різні статистичні критерії, базуються на одній реалізації випадкового процесу.
8.Оценіваніе числових характеристик часового ряду
Оцінювання числових характеристик випадкового часового ряду в кожний момент часу вимагає набору реалізацій (траєкторій) відповідного випадкового процесу. Хоча час і не відтворено, однак умови протікання процесу іноді можна вважати повторюваними. Особливо це характерно для технічних додатків, наприклад, коливання напруги в електричній мережі в протязі доби. Часові ряди, які спостерігаються в різні добу, можна вважати незалежними реалізаціями одного випадкового процесу.
Інша ситуація при дослідженні процесів соціально-економічної природи. Як правило, тут доступна єдина реалізація процесу, повторити яку не представляється можливим. Отже, отримати оцінки середнього, дисперсії, коваріації не можна. Однак для стаціонарних процесів подібні оцінки таки можливі. Нехай спостережені значення часового ряду в моменти відповідно. Традиційна оцінка середнього може служити оцінкою математичного очікування стаціонарного (в широкому сенсі) випадкового процесу.
Ясно, що така оцінка для стаціонарного ряду буде незміщеною. Спроможність цієї оцінки встановлюється теоремою Слуцького, яка в якості необхідного і достатньої умови вимагає щоб
,
де - автокореляційна функція процесу.
Точність оцінювання середнього залежить від довжини N ряду. Вважається, що довжина N завжди повинна бути не менше так званого часу кореляції, під яким розуміють величину
T =.
Величина Т дає уявлення про порядок величини проміжку часу, на якому зберігається помітна кореляція між двома значеннями ряду.
Розглянемо тепер отримання оцінок значень автокореляційної функції. Як і колись, - спостережені значення тимчасового ряду. Утворюємо ( N -1) пар. Ці пари можна розглядати як вибірку двох випадкових величин, для яких можна визначити оцінку стандартного коефіцієнта кореляції. Потім складемо ( N -2) пар і визначимо оцінку і т.д. Оскільки при підрахунку чергового обсяг вибірки змінюється, змінюється значення середнього і стандартного відхилення для відповідного набору значень. Для спрощення прийнято вимірювати всі змінні щодо середнього значення всього ряду і замінювати дисперсійні члени в знаменнику на дисперсію ряду в цілому, тобто
,
де - середнє, рівне.
При великих N розбіжність в оцінках незначні. На практиці k беруть не вище N /4.
Якщо ряд розглядається як генеральна сукупність нескінченної довжини, то говорять про автокореляції (теоретичних) і позначають їх. Масив коефіцієнтів або відповідних їм вибіркових коефіцієнтів містять дуже цінну інформацію про внутрішню структуру ряду. Сукупність коефіцієнтів кореляції, нанесена на графік з координатами k (Лаг) по осі абсцис і або по осі ординат, називають коррелограмми (теоретичної або вибіркової відповідно).
Точнісні характеристики оцінки отримані для гауссовских процесів. Зокрема, для гаусівського білого шуму, у якого все кореляції дорівнюють нулю,. Математичне сподівання для гауссовского білого шуму виявляється не рівним нулю, а саме,, тобто оцінка виявляється зміщеною. Величина зміщення убуває із зростанням обсягу вибірки і не настільки істотна в прикладному аналізі.
Оцінка асимптотично нормальна при, що дає підставу для побудови приблизного довірчого інтервалу. Широко застосовуваний 95%-інтервал є.
Межі довірчого інтервалу, нанесені на графік, називають довірчої трубкою. Якщо коррелограмми деякого випадкового процесу не виходить за межі довірчої трубки, то цей процес близький до білого шуму. Правда, ця умова можна вважати лише достатнім. Нерідко вибіркова коррелограмми гауссовского білого шуму містить один, а то й два викиду серед перших 20 оцінок, що природно ускладнює інтерпретацію подібної коррелограмми.
Поряд з автокореляційної функцією при аналізі структури випадкового тимчасового ряду використовується приватна автокореляційна функція, значення якої суть приватні коефіцієнти кореляції.
9. Вільні від закону розподілу критерії перевірки ряду на випадковість
Найпростішою гіпотезою, яку можна висунути щодо коливного ряду, що не має явно вираженого тренду, є припущення, що коливання випадкові. У випадкових рядах, відповідно до гіпотези, спостереження незалежні і можуть слідувати в будь-якому порядку. Для перевірки на випадковість бажано використовувати критерій, що не вимагає яких-небудь обмежень на вид розподілу сукупності, з якої, за припущенням, витягуються спостережувані значення.
1. Критерій поворотних точок полягає в підрахунку піків (величин, які більше двох сусідніх) і западин (величин, які менше двох сусідніх). Розглянемо ряд y 1 , ..., y N .
пік западина
y t-1 t > y t +1 y t-1 > y t t +1
y t-1 y t y t +1 y t-1 y t y t +1
Рис. Поворотні точки.
Для визначення поворотної точки потрібні три послідовних значення. Початкове і кінцеве значення не можуть бути поворотними точками, т. к. невідомо y 0 і y N +1 . Якщо ряд випадковий, то ці три значен...
