п.1. Аксіоматична система натуральних чисел.
Визначення. Системою натуральних чисел (системою Пеано) називається алгебра, де - бінарні операції, - унарний операція (Функція В«проходженняВ»), - виділений елемент в множині, для якої виконані наступні аксіоми:
Для, (елемент називається наступним за).
Для,,.
,.
Для,.
,.
Для,.
Аксіома індукції: Нехай. Якщо безліч задовольняє умовам:
а);
б) для,;
то.
Система аксіом Пеано володіє тим властивістю, що ні одна з аксіом системи не є наслідком інших аксіом.
Із системи аксіом Пеано можна вивести всі відомі нам властивості натуральних чисел.
п.2. Теореми математичної індукції.
Теорема 1. (Принцип повної математичної індукції). Нехай - одномісний предикат на, який задовольняє умовам:
- істина.
(- істина В® - істина).
Тоді предикат тотожно істинна на.
Доказ. Позначимо через множину всіх тих, для яких істина. Перевіримо, що задовольняє умовам аксіоми індукції.
Т.к. - Істина, то.
Якщо, то - істина і по другій умові теореми індукції - істина. Тому.
Безліч задовольняє умовам аксіоми індукції. Тому.
Позначення. Безліч цілих чисел складається з натуральних чисел, нуля і чисел протилежних натуральним.
Для позначимо.
Теорема 2. (Узагальнення принципу повної математичної індукції). Нехай - одномісний предикат на, де, який задовольняє умовам:
- істина.
(- істина В® - істина).
Тоді предикат тотожно істинна на.
Теорема 3. (Сильна форма принципу повної математичної індукції). Нехай - одномісний предикат на, який задовольняє умовам:
- істина.
(- істини В® - істина).
Тоді предикат тотожно істинна на.
Теорема 4. (Узагальнення сильної форми принципу повної математичної індукції). Нехай - одномісний предикат на, де, який задовольняє умовам:
- істина.
(- істини В® - істина).
Тоді предикат тотожно істинна на.
Числа Фібоначчі
Визначення. Числа Фібоначчі, для, визначаються рекуррентно
(1),;
для всіх.
З визначення чисел Фібоначчі випливає, що
,,,,,,,,,,.
Для обчислення чисел Фібоначчі справедлива наступна формула Біне
(3),.
З (1) та (2) випливає, що індукційне припущення, при доказі формули Біне, повинно припускати справедливість (3) для і, і значить, початкові умови повинні вимагати виконання (3) для і. Тому доказ формули Біне може проводитися за наступною теоремою математичної індукції.
Теорема 5. Нехай - одномісний предикат на, який задовольняє умовам:
- істини.
(- істини В® - істина).
Тоді предикат тотожно істинна на.
Проведемо доказ формули Біне по теоремі 5.
Для і рівність (3) приймає вигляд
,.
Очевидно, що ці рівності вірні.
Припустимо, що рівність (3) істинно для чисел і. Тоді з (2) випливає, що
.
Після простих перетворень правій частині одержимо, що
За індукції формула Біне доведена.
Теорема 6. Нехай - одномісний предикат на, який задовольняє умовам:
- істина.
(- істини В® - істина).
Тоді предикат тотожно істинна на.
п.3. Основна властивість асоціативних операцій.
Теорема. Якщо бінарна операція на безлічі асоціативна, то при будь розстановці дужок, що задають порядок виконання операцій у творі значення творів будуть однаковими, тобто значення твору не залежить від способу розстановки дужок.
Доказ. Проводиться індукцією по. Перевіримо затвердження теореми для і .
Для - очевидно, так як порядок виконання операцій единственен.
Для твір може бути обчислено двома способами: або. В силу асоціативності - ці твори рівні.
Припустимо, що теорема доведена для всіх чисел, де.
Доведемо теорему для числа. При будь розстановці дужок в творі, такий твір є твір двох дужок (1), де. Всередині кожної дужки розставлено свої дужки. Так як в кожній дужці множників, то по індукційному припущенням значення твору в дужках не залежить від того, як у них розставлені дужки. Тому твір (1) можна записати у вигляді, застосовуючи закон асоціативності і індукцірованія до множників. Отримаємо, що твір (1) одно і так далі продовжуючи, отримаємо, тому твір (1) не залежить від способу розстановки дужок.
Список літератури
Е.Е. Маренич, А.С. Маренич. Вступний курс математики. Навчально-методичне посібник. 2002
В.Є. Маренич. Журнал В«АргументВ». Задачі з теорії груп.
Кострикін А.І. Введення в алгебру. Ч.1 Основи алгебри. - М.: фізмат літ-ра, 2000
Кострикін А.І. Введення в алгебру. Ч.2 Основи алгебри. - М.: фізмат літ-ра, 2000
Кострикін А.І. Введення в алгебру. Ч.3 Основні структури алгебри. - М.: фізмат літ-ра, 2000
Кострикін А.І. Збірник задач з алгебри. Вид. третє - М.: фізмат літ-ра, 2001
Для підготовки даної роботи були використані матеріали з сайту referat.ru/
Групи. Приклади груп. Найпростіші властивості груп. Гомоморфізму і ізоморфізми груп. Підгрупи
Дано визначення групи, абелевих, нескінченною, адитивної, мультиплікативної і комутативної груп, гомоморфізм та ізоморфізм груп, наведені приклади груп і їх найпростіші властивості з доказами.
п.1. Поняття групи.
Визначення. Алгебра, де - бінарна операція, - унарний операція, називається групою, якщо виконані 3 аксіоми:
- асоціативно, тобто.
Аксіома існування правого нейтрального елемента:
Аксіома існування правого зворотного елемента:, - правий зворотний елемент до.
Визначення. Група називається комутативною (Абелевих), якщо операція комутативна, тобто.
Визначення. Порядком групи називається число елементів в множині, якщо - кінцеве безліч. Якщо - нескінченна безліч, то група називається нескінченною.
Адитивна форма запису групи.
Визначення. Алгебра, де - бінарна операція, - унарна операція, називається адитивної групою, якщо виконані аксіоми:
операція асоціативна, тобто
існування правого нейтрального елемента, тобто
існування правого протилежного елементу, то є
Визначення. Група називається абелева, якщо операція - комутативна операція, тобто.
Мультиплікативна форма записи групи.
Визначення. Алгебра, де - бінарна операція, - унарна, називається мультиплікативної групою, якщо виконуються наступні аксіоми:
Операція множення асоціативна, тобто.
Аксіома існування правого одиничного елемента:.
Аксіома існування правого зворотного елемента:.
Визначення. Група називається комутативною, якщо операція - коммутативна, тобто.
п.2. Приклади груп.
Адитивні групи.
1) Розглянемо безліч натуральних чисел і операції. - Бінарна операція на безлічі (сума двох натуральних чисел - натуральне число), - не є унарний операцією на множині, - Не є алгеброю не група.
2). - Бінарна операція на множині, - унарний операція на безлічі, є алгеброю. Перевіримо аксіоми адитивної групи:
- виконується за властивостями цілих чисел.
- виконується за властивостями цілих чисел.
- виконується за властивостями цілих чисел.
Значить, є групою, абелева група, так як нескінченна група називається адитивною групою цілих чисел.
3). - Бінарна операція, - унарна операція, є алгеброю.
- виконується за властивостями дійсних чисел.
виконується за властивостями дійсних чисел.
.
Значить є групою, абелева група, , Нескінченна група називається адитивною групою дійсних чисел.
4). не є алгеброю не є групою.
Мультиплікативні групи.
1). -Бінарна операція н...
