феричної геометрії просто не існує поняття паралельності. Ще одна відмінність - сферична пряма замкнута, тобто рухаючись по ній в одному і тому ж напрямку, ми повернемося у вихідну точку, точка не розбиває пряму на дві частини. Ось ще здивування сферичної геометрії: трикутник на сфері може мати відразу три прямих кута, якщо, наприклад, він обмежений двома перпендикулярними меридіанами і екватором.
Рис.3
Тепер познайомимося з поняттями сферичної геометрії. При цьому ми будемо постійно порівнювати їх з поняттями звичайної геометрії.
2.2. Прямі, відрізки, відстані і кути на сфері
Прямими на сфері вважаються великі кола. Якщо дві точки належать великому колу, то довжина меншої з дуг, що з'єднують ці точки, визначається як сферичне відстань між цими точками, а сама дуга - як сферичний відрізок. Діаметрально протилежні точки з'єднані нескінченним числом сферичних відрізків - великих напівкіл. Довжина сферичного відрізка визначається через радіани міру центрального кута пЃЎ і радіус сфери R (рис. 4), за формулою довжини дуги вона дорівнює R пЂ пЃЎ. Будь-яка точка С сферичного відрізка АВ розбиває його на два, і сума їх сферичних довжин, як і в планіметрії, дорівнює довжині всього відрізка, тобто пѓђ АОС + пѓђ СОВ = пѓђ АОВ. Для будь же точки D поза відрізка АВ має місце В«сферичне нерівність трикутникаВ»: сума сферичних відстаней від D до А і від D до В більше АВ, тобто пѓђ AOD + пѓђ DOB> пѓђ AOB, - повну відповідність між сферичної та плоскої геометрії. Нерівність трикутника - одне з основоположних в сферичної геометрії, з нього випливає, що, як і в планіметрії, сферичний відрізок коротше будь сферичної ламаної, а значить, і будь кривої на сфері, що з'єднує його кінці.
Рис.4
Таким же чином на сферу можна перенести і багато інші поняття планіметрії, зокрема ті, які можна виразити через відстані. Наприклад, сферична окружність - безліч точок сфери, рівновіддалених від заданої точки Р. Легко показати, що окружність лежить в площині, перпендикулярній діаметру сфери РР `(рис. 5), тобто це звичайна плоска коло з центром на діаметрі РР `. Але сферичних центрів у неї два: Р і Р `. Ці центри прийнято називати полюсами. Якщо звернутися до глобусу, то можна бачити, що йдеться саме про таких кіл, як паралелі, і сферичними центрами всіх паралелей є Північний і Південний полюси. Якщо діаметр пЃІ сферичної окружності дорівнює пЃ°/2, то сферична окружність перетворюється в сферичну пряму. (На глобусі - екватор). У цьому випадку таку окружність називають поляри кожній з точок Р і P `.
Рис.5
Одним з найважливіших понять у геометрії є рівність фігур. Фігури вважаються рівними, якщо одну на іншу можна відобразити таким чином (поворотом і перенесенням), що збережуться відстані. Це вірно і для сферичної геометрії.
Кути на сфері визначаються наступним чином. При перетині двох сферичних прямих a і b на сфері утворюються чотири сферичних двуугольніка, подібно до того, як дві пересічні прямі на площині розбивають її на чотири плоских кута (рис. 6).
Рис.6
Кожному з двуугольніков відповідає двогранний кут АОВ, утворений діаметральними площинами, що містять a і b.
2.3. Сферичний трикутник
Серед всіх сферичних багатокутників найбільший інтерес представляє сферичний трикутник. Три великих кола, перетинаючись попарно в двох точках, утворюють на сфері вісім сферичних трикутників. Знаючи елементи (сторони та кути) одного з них, можна визначити елементи всіх інших, тому розглядають співвідношення між елементами одного з них, того, у якого всі сторони менше половини великого кола. Сторони трикутника вимірюються плоскими кутами тригранного кута ОАВС, кути трикутника - двогранними кутами того ж тригранного кута [1] (Рис. 7).
рис. 7
Багато властивості сферичного трикутника (а вони одночасно є і властивостями тригранних кутів) майже повністю повторюють властивості звичайного трикутника. Серед них - нерівність трикутника, яке на мові тригранних кутів свідчить, що будь-який плоский кут тригранного кута менше суми двох інших. Або, наприклад, три ознаки рівності трикутників. Всі планіметричних слідства згаданих теорем разом з їх доказами залишаються справедливими на сфері. Так, безліч точок, рівновіддалених від кінців відрізка, буде і на сфері перпендикулярній до нього прямий, що проходить через його середину, звідки випливає, що серединні перпендикуляри до сторін сферичного трикутника AВС мають спільну точку, точніше, дві діаметрально протилежні загальні точки Р і Р `, що є полюсами його єдиною описаного кола (Рис. 8). У стереометрії це означає, що близько будь-якого тригранного кута можна описати конус. Легко перенести на сферу і теорему про те, що бісектриси трикутника перетинаються в центрі його вписаного кола.
рис. 8
Теореми про перетин висот і медіан також залишаються вірними, але їх звичайні докази в планіметрії використовують паралельність, якої, на сфері немає, і тому простіше довести їх заново, на мові стереометрії. Рис. 9 ілюструє доказ сферичної теореми про медіані: площини, що містять медіани сферичного трикутника АВС, перетинають плоский трикутник з тими ж вершинами по його звичайним медіану, отже, всі вони містять радіус сфери, що проходить через точку перетину плоских медіан. Кінець радіусу і буде спільною точкою трьох В«СферичнихВ» медіан.
Рис. 9
Властивості сферичних трикутників багато в чому відрізняються від властивостей трикутників на площині. Так, до відомих трьом випадкам рівності прямолінійних трикутників додається ще й четвертий: два трикутника АВС і А `В` С `рівні, якщо рівні відповідно три кути пѓђ А = пѓђ А `, пѓђ В = пѓђ В`, пѓђ С = пѓђ С `. Таким чином, на сфері не існує подібних трикутників, більш того, в сферичної геометрії немає самого поняття подібності, тому не існує перетворень, що змінюють всі відстані в однакове (не рівне 1) число разів. Ці особливості пов'язані з порушенням евклідової аксіоми про паралельних прямих і також притаманні геометрії Лобачевського. Трикутники, мають рівні елементи і різну орієнтацію, називаються симетричними, такі, наприклад, трикутники АС `С і ВСС` (рис. 10).
рис. 10
Сума кутів всякого сферичного трикутника завжди більше 180 п‚°. Різниця пѓђ А + пѓђ В + пѓђ С - пЃ° = пЃ¤ (Вимірювана в радіанах) - величина позитивна і називається сферичним надлишком даного сферичного трикутника. Площа сферичного трикутника: S = R2 пЂ пЃ¤ де R - радіус сфери, а пЃ¤ - сферичний надлишок. Ця формула вперше була опублікована голландцем А.Жіраром в 1629г. і названа його ім'ям.
2.4. Координати на сфері
Кожна точка на сфері визначається завданням двох чисел; ці числа (координати) визначаються наступним чином (рис. 11). Фіксується певний велике коло QQ `(екватор), одна з двох точок перетину діаметра сфери PP `, перпендикулярного до площини екватора, з поверхнею сфери, наприклад Р (полюс), і один з великих напівкіл PAP `, що виходять з полюса (перший меридіан). Великі півкола, що виходять з P, називаються меридіанами, малі кола, паралельні екватора, такі, як LL `, - паралелями. В якості однієї з координат точки M на сфері приймається кут пЃ± = POM (висота точки), в якості другої - кут пЃЄ = AON між перший меридіаном і меридіаном, що проходить через точку M (довгота точки, відраховується проти годинникової стрілки).
рис. 11
У географії (на глобусі) в якості першого меридіана прийнято використовувати Грінвіцький меридіан, що проходить через головний зал Грінвічській обсерваторії (Грінвіч - міський округ Лондона), він поділяє Землю на Східне і Західне півкулі, відповідно і довгота буває східній або західній і вимірюється від 0 до 180 В° в обидві сторони від Грінвіча. А замість висоти точки в географії прийнято використовувати широту, тобто кут NOM = 90 В° - пЃ±, відлічуваний від екватора. Т.к. екват...
